Итоги тысячелетнего развития, кн. I-II - Лосев Алексей Федорович (электронная книга .TXT) 📗
г) После Гиппаса и Архита удобно будет назвать имя Евдокса Книдского, более подробное суждение о котором читатель найдет у нас ниже, в разделе о континууме. Этот Евдокс интересен тем, что своим учением об "исчерпывании" он ввел во всю античную философию очень важную концепцию непрерывного становления, противоположного неподвижности абстрактных идей и чисел. Сейчас мы не будем приводить тексты из этого Евдокса (представление о них можно получить из указанного у нас сейчас места этого тома). Но здесь очень важна та новость, что все формулированные до Евдокса пропорции он погружает в непрерывное становление, что особенно важно для музыки, в которой как раз бывает часто весьма трудно оперировать только с конечными и вполне дискретными числами. Как оперирует Евдокс с самими пропорциями, представление об этом можно получить по тому же Ван дер Вардену [276]. Здесь же мы ограничимся указанием только на то, что в условиях применения теоретико-числовых операций к музыке средняя гармоническая, например, вовсе не могла быть выражена рациональными отношениями между тонами, так что волей-неволей приходилось признавать подвижность и вполне иррациональную текучесть этой средней гармонической. Поэтому концепция Евдокса исторически имела, можно сказать, огромное значение. Между прочим, это значение Евдокса для понимания музыкально-числовых отношений странным образом отсутствует у ван дер Вардена.
11. То же. Платон
В сравнении с рассмотренными сейчас авторами Платон занимает совершенно новую позицию. Он чрезвычайно чутко относится не только к самим пропорциям, установленным раньше него, но и к тому непрерывному становлению, которое между ними совершается и которое установил Евдокс. Поэтому точку зрения Платона нельзя иначе характеризовать как чисто диалектическую. Элементы, то есть землю, воду, воздух и огонь, Платон называет "началами", которые, если брать их в чистом виде, вечны и неизменны. Однако реально существуют только такие начала, которые находятся в становлении, так что соединение начал с их становлением является не описательным, как у Евдокса, но именно диалектическим, где не только существует то и другое, но еще и третье, в чем они объединяются (Tim. 48b – 50d). Если угодно конкретно осязать эту платоновскую диалектику пропорций, необходимо читать такие тексты из Платона, как Epim. 990e – 991b и Tim. 31c-32a. Эти тексты проанализированы у нас в своем месте (ИАЭ I 275 – 278).
а) Когда Платон говорит о материальных элементах, он прямо противопоставляет землю и огонь (Tim. 31c) на основании общеантичных интуиций. Но эта диалектическая противоположность тут же переходит к своему единству в виде воды и воздуха с подробной мотивировкой, почему между двумя противоположностями здесь не одна, а, две середины (32b). Точно так же поступает Платон и с правильными многогранниками, среди которых в качестве противоположностей он рассматривает неподвижный куб и подвижную, острую и режущую пирамиду, а объединяет Платон эти две "противоположности" при помощи икосаэдра и октаэдра. Додекаэдр, как ближайший к шару, оставляется им для очертания всего космоса в целом (ИАЭ I 291 – 294).
Два обстоятельства нам необходимо отметить особо. Прежде всего, хотя в своем "Тимее" Платон и не говорит специально о музыкальных консонансах, но уже первые четыре пропорции 1:2, 3:2, 4:3, 9:8, указываемые здесь (36ab), явно свидетельствуют о полном понимании Платоном и кварты, и квинты, и октавы; и понимал он их, конечно, в первую очередь, в космологическом плане.
б) О том, какую именно гамму имел в виду Платон в своем изображении космоса, буквально в "Тимее" ничего не сказано; и разные догадки на эту тему составили в современной науке обширную литературу. Рассматривать всю эту литературу не является для нас нужным делом. Мы бы обратили внимание только на то, что имеется один гармонический принцип, который в "Тимее" тоже не формулирован буквально, но который представляется нам очевидным. Это принцип золотого деления, который в точном и сознательном виде до Птолемея вообще нигде в античности не формулировался. Платон утверждает в "Тимее" (32a), что два тела наилучшим способом могут быть объединены только так, что "первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и, соответственно, последнее к среднему – как среднее к первому". Здесь стоит только под первой величиной понимать всю величину, а под последней величиной – меньшую величину, и мы сразу получим закон золотого деления: вся величина так относится к ее большей части, как ее большая часть – к ее меньшей части.
в) Чтобы в точности распознать проводимый здесь Платоном закон золотого деления, необходимо иметь в виду его стремление понимать всю действительность как максимально правильно построенную, то есть как состоящую из пяти правильных многогранников и шара.
Если мы возьмем куб, то ясно, что его квадратные грани составлены каждая из двух равнокатетных прямоугольных треугольников. Это заставляет признать, что куб в строгом смысле слова не имеет никакого отношения к золотому делению. Однако желательная для Платона правильность этого многогранника нисколько не страдает. Можно сказать, что правильность взаимного соотношения элементов куба настолько велика, что она даже не нуждается в золотом делении и даже превосходит его по своей правильности. Эта правильность, соотношения доходит тут до равенства: грани куба – это правильные квадраты, стороны которых буквально равны одна другой; а проведение диагонали внутри куба приводит к получению равнобедренных прямоугольных треугольников, в отношении которых у Платона имеется особая симпатия.
Если же мы возьмем пирамиду, октаэдр и икосаэдр, то их грани уже не будут составлены из прямоугольных треугольников, но все же из треугольников равносторонних. Однако во всяком равностороннем треугольнике путем проведения его высоты мы находим два таких прямоугольных треугольника, в которых один катет вдвое меньше гипотенузы (54d).
Представим себе теперь меньший катет каждого из указанных треугольников как 1. Тогда гипотенуза каждого такого треугольника будет равняться 2. И чтобы в таких условиях представить себе другой катет, то, на основании общеизвестной Пифагоровой теоремы, этот другой катет будет равняться √3. Тут-то и возникает то замечательное явление, что Платон, в сущности говоря, пользуется не чем иным, как именно золотым делением, потому что √3 лишь незначительно отличается от числа 1, 71..., характерного для золотого деления.
Здесь, однако, вовсе не получается закона золотого деления, как это хотелось бы Г.Е.Тимердингу [277]. Дело в том, что та иррациональная дробь, которая получается в результате вычисления величины √3, равняется 1, 732..., а отношение золотого деления в данном случае (как отношение двух катетов) равняется 1:√3 то есть равняется 0, 577..., в то время как пункт золотого деления в общем случае падает на дробь 0, 618. Другими словами, полного совпадения с золотым делением здесь не получается; и, может быть, Г.Е.Тимердинг рассуждает здесь несколько преувеличенно. Нужно, однако, сказать, что эта преувеличенность здесь ничтожная, да и сам Г.Е.Тимердинг платоновскую симметрию называет здесь не просто золотым делением, но соперником этого последнего. А с такой характеристикой уже вполне можно согласиться. И, таким образом, пирамида, октаэдр и икосаэдр, несомненно, содержат в своей структуре нечто весьма близкое к золотому делению. И это вовсе не плохо, поскольку художественное впечатление определяется не только законом золотого деления в точности, но и болей широкой областью различных числовых отношении, а в приведенном у нас выше тексте из "Тимея" Платон как раз и дает гораздо более общую формулу, а не только специально формулу золотого деления, которую мы там упомянули не в целях математической точности, а, скорее, в целях приведения только одного из примеров художественного соотношения разных частей целого.
