Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович (книги полностью бесплатно txt) 📗

При помощи такихъ таблицъ египтяне ум?ли обходиться безъ приведенія дробей къ одному знаменателю; для этого они переводили слагаемыя въ основныя дроби на основаніи таблицъ, соединяли вс? эти основныя дроби въ одну массу и потомъ смотр?ли, опять же руководствуясь таблицами, какой одной дроби равняется вся эта масса. Какъ составлялись подобныя таблицы? Точнаго отв?та дать сейчасъ нельзя, т?мъ бол?е, что они заимствованы изъ папируса Ринда, а этотъ папирусъ относится ко времени за 2000 л?тъ до Р. X. Можно догадываться, что едва ли вс? строки принадлежатъ одному составителю, в?рн?е всего отд?льные результаты тщательно собирались въ общій сводъ, такъ что на н?которые отв?ты приходилось наталкиваться случайно, при какихъ-нибудь другихъ вычисленіяхъ.

Такъ какъ египтяне пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц?, то они, обыкновенно, вовсе и не писали числителя, а только подразум?вали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не см?шать дробь съ ц?лымъ числомъ, они надъ цифрами знаменателя ставили точку. Изъ производныхъ же дробей разсматривалась только ²/₃ у которой былъ свой знакъ, такъ что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую въ прямой связи ни съ ц?лыми числами, ни съ дробями.

Арабы, очевидно, подъ вліяніемъ египтянъ, разд?ляли дроби на «выговариваемыя» и «невыговариваемыя». Такіе термины встр?чаются, напр., въ VIII—IX в. по Р. X. Выговариваемыми дробями были т?, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ род? нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс? остальныя, и, напрВыговариваемьши дробями были т?, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ род?нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс? остальныя, и, напр., ¹/₁₃ выражалась описательно такъ: одна изъ тринадцати долей; ¹/₃₀ такъ: шестая часть одной пятой.

Древніе греки часто вводили въ вычисленія дроби. Обозначали они ихъ такъ: сперва писали числителя и сверху справа ставили значекъ въ род? запятой, потомъ дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый разъ значокъ въ вид? 2-хъ запятыхъ. Напр., ³/₂₁= ??K??? K???, такъ какъ у грековъ ? обозначаетъ 3, а ? единицу, К двадцать. Однако чаще всего греки, по прим?ру египтянъ и арабовъ, пользовались основными долями и при этомъ обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали съ присоединеніемъ 2 черточекъ, и выходило, напр., что ¹/₂₁=K???. Если н?сколько основныхъ дробей писалось подъ рядъ, то это значило, что ихъ надо сложить. Особенные знаки были для половины: ? (старинная греческая буква сигма) и для 2 третей: ?.

Индусы, въ лиц? одной изъ древн?йшихъ своихъ отраслей — доисторическаго племени Тамуловъ, выражали вс? доли при помощи только ?, ?, ¹/₁₆, ¹/₄₀, ¹/₈₀, ¹/₉₆₀. Для которыхъ у нихъ были особенныя названія и знаки. Вс? другія дроби они старались привести къ шести указаннымъ, и это имъ въ болыпинств? случаевъ удавлось порядочно, такъ какъ комбинаціи этихъ долей даютъ почти ц?лую единицу.

У индусскаго математика Брамагупты (въ XI в. по Р. X.) им?ется довольно развитая система простыхъ дробей. У него встр?чаются различныя дроби, и простыя и производныя, т.-е. съ числителемъ и 1, и любое число. Числитель и знаменатель пишутся такъ же, какъ у насъ, но только безъ горизонтальной черты, а просто ставатся одинъ подъ другимъ. Выше числителя пом?щается ц?лое число, если оно есть. И выходитъ по индусскому порядку {| | ||7 |- |5||  |- | |8 |}, а по нашему—5⁷/₈.

Представители поздн?йшей арабской учености (XI в.) копируютъ индусскій порядокъ. Если ц?лыхъ н?тъ, то они вверху пом?щаютъ нуль. Вотъ изображеніе восточно-арабскими цифрами;

отсюда видно, что нуль у восточныхъ арабовъ писался въ вид? точки. Итальяинецъ Леонардо Фибонначи, сл?дуя манер? восточныхъ народовъ (семитовъ) писать справа нал?во, пом?щаетъ, въ случа? см?шанныхъ чиселъ, справа ц?лое число, а л?в?е дробь, но читаетъ написанное общепринятымъ европейскимъ порядкомъ, т.е. сперва ц?лое число, а потомъ уже дроби.

Своеобразную систему дробей наблюдаемъ мы у римлянъ. Народъ серьезный, практичный, д?ловой, они предпочитали отвлеченному мышленію наглядность, и поэтому ничего н?тъ естественн?е въ ихъ положеніи, какъ зам?нить отвлеченныя доли подразд?леніями употребительныхъ м?ръ. Они остановили свое вниманіе на м?р? в?са— фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ). Ассъ д?лится на 12 частей—унцій. Изъ нихъ образуются вс? дроби со знаменателемъ 12, т.-е.

при этомъ каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и особеннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать посредствомъ унцій, напр., вм?сто того, чтобы сказать: «я прочиталъ ⁵/₁₂ книги», говорили «я прочиталъ 5 унцій книги». Такимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей, и въ то же время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозможныя дроби.

Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до т?хъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — в?рн?е сказать, индуссая—ари?метика стала вступать въ свои права и получила силу и перев?съ. Это относится къ XV—XVI в?к. по Р. X. Въ эти в?ка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ т? же самые отд?лы, которые встр?чаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вм?сто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, н?мецкаго автора XVI в.:

 Въ русскихъ матем. рукописяхъ XVII в. мы видимъ то же самое, что въ западно-европейскихъ XVI и даже XV стол?тія, потому что, чтобы знанію дойти до Россіи, требовалось стол?тіе или бол?е. «Статія численая о всякихъ доляхъ указъ» начинается прямо съ письм. обозначенія дробей и съ указанія числителя и знаменателя. При выговариваніи дробей интересны такія особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями отъ 5 до 11 выражались словами съ окончаніемъ «ина», такъ что ¹/₇, = седмина, ¹/₅ пятина, ¹/₁₀ = десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались съ помощью слова «жеребей», напр., ⁵/₁₃—пять тринадцатыхъ жеребевъ. Нумерація дробей была прямо заимствована изъ западныхъ источниковъ, въ чемъ авторъ рукописи сейчасъ же сознается:

Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.

У Магницкаго (славянская ари?метика 1703 г.) можно найти яркій прим?ръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ д?леніе съ остаткомъ. На стр. 17 р?шается прим?ръ 130 : 3, и въ конц? р?шенія говорится такъ: