Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей

Никакого явного закона в распределении интервалов не просматривается. Хочется сказать, что они случайны. Но нет! На рисунке 18.3 показаны 269 чисел, выбранных совершенно случайно в интервале от 0 до 10 и изображенных тем же образом. Сравнение рисунков 18.2 и 18.3 позволяет увидеть, что собственные значения случайной матрицы раскиданы по прямой не случайным образом. На рисунке 18.2 заметен эффект отталкивания, тогда как для случайного разброса на рисунке 18.3 мы видим, что имеется большее по сравнению с распределением собственных значений число пар, расположенных достаточно близко друг к другу (а потому, неизбежно, и большее количество тех, что сидят дальше друг от друга). Хотя собственные значения на рисунке 18.2 и отказываются следовать какому-нибудь заметному глазу порядку (в конце концов, они же возникли из случайной матрицы!), они все же изо всех сил стараются сохранять дистанцию между собой. Напротив, чисто случайная точка, судя по всему, совсем не возражает, если ее прижмут к другой случайной точке.

Позвольте ввести три профессиональных термина, имеющие прямое отношение к обсуждаемому вопросу. Множество случайных (т.е. гауссовых случайных) эрмитовых матриц [164] ^{A9} описанного типа называется во всей своей совокупности «гауссовым унитарным ансамблем» (ГУА). Точные статистические свойства интервалов в длинных неоднородных строках из чисел типа тех, что фигурируют в приведенных примерах, выражаются так называемой парной корреляционной функцией. А некоторое отношение, связанное с этой функцией и достаточно точно эту функцию характеризующее, называется формфактором.

Теперь я готов рассказать о знаменательной встрече, которая привела к постановке весьма странных и загадочных вопросов о Гипотезе Римана и впоследствии послужила «виновницей» тысяч исследовательских проектов.

Эта встреча произошла в 1972 году, когда в Институте высших исследований в Принстоне случайно столкнулись специалист по теории чисел и физик. Специалистом по теории чисел был Хью Монтгомери — молодой американец, который тогда состоял в аспирантуре в кембриджском Тринити-колледже — колледже Г.X. Харди. Физиком же был Фримен Дайсон, который в то время являлся профессором в принстонском Институте высших исследований. Дайсон, которого мы уже упоминали, был известным физиком. В тот момент он еще не освоил параллельную профессию автора наводящих на размышления бестселлеров о происхождении и будущем человеческого рода.

Как раз незадолго до этого Хью Монтгомери исследовал интервалы между нетривиальными нулями дзета-функции. Это исследование не было частью программы по возможному доказательству Гипотезы Римана. Просто так случилось, что определенный результат о природе этих интервалов имел приложения в области теории чисел, для полей, несколько напоминающих поле а + bv2, с которым мы познакомились в главе 17.ii. [165] Этим и занимался Монтгомери. Вот как звучит эта история в его собственном изложении:

Нетрудно понять, почему Фримен Дайсон так оживился. Выражение, упомянутое Хью Монтгомери, — выражение, которое возникло из исследований нетривиальных нулей дзета-функции Римана, — оказалось в точности формфактором, связанным с эрмитовыми матрицами, т.е. с объектом, которым Дайсон занимался в течение нескольких лет до этого в ходе исследования квантовых динамических систем. (И Монтгомери даже преуменьшил степень чудесного везения, благодаря которому произошла их встреча. Хотя Дайсон приобрел известность как физик, свою первую ученую степень он получил по математике, причем первой областью его интересов была теория чисел. Если бы не эта его предыстория, то он не смог бы оценить сообщение Монтгомери. [169])

Чтобы проиллюстрировать сказанное, возьмем все нетривиальные нули дзета-функции Римана до высоты 500i — т.е. на критической прямой от ¹/₂ до ¹/₂ + 500i (на этих небольших высотах мы точно знаем, что Гипотеза Римана верна). В этом интервале имеется 269 нулей (именно поэтому на рисунках 18.2 и 18.3 выбрано число 269). Они показаны на рисунке 18.4: интервал, на котором они живут, разбит на 10 отрезков, которые расположены друг над другом аналогично тому, как мы это делали раньше. Сравнивая рисунок 18.4 с рисунками 18.2 и 18.3, можно заметить, что он похож на рисунок 18.2, но не на рисунок 18.3.