Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей

Ho как я получил все эти значения ?(s) для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1) для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение ?(?7,5), как бы я к этому подступился?

Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1). Это ?-функция; ? (читается «эта») — седьмая буква греческого алфавита. Определим ?-функцию как

Грубая прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1). Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать — хотя здесь мы этим заниматься не будем, — что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда s больше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1), которое сходится, только когда s больше единицы.

Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A ? B + C ? D + E ? F + G ? H + … равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …) минус 2?(B + D + F + H + …). Поэтому функцию ?(s) можно переписать как

минус

Первая скобка — это, конечно, ?(s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида 

или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем

Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение ?(s), то мы немедленно будем знать и значение ?(s). А поскольку можно узнать значения ?(s) между 0 и 1, можно получить и значение ?(s) в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для ?(s) там не сходится.

Пусть, например, s равно ¹/₂. Если сложить 100 членов ряда для ?(¹/₂), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение ?(¹/₂) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ?(¹/₂) оно оказывается равным ?1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.

Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s = ¹/₂, а другой — нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для ?(s).

За исключением одного только s = 1, где ?(s) не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает ?(1 ? s) через ?(s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение ?(?15), то надо просто вычислить значение ?(16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин: [75]

Всюду здесь ? — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1?2, 3! = 1?2?3, 4! = 1?2?3?4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, (¹/₂)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из ?), (?¹/₄)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от ?4 до 4.

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ?(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ?(1 ? s) через ?(s); если вы знаете, как посчитать ?(16), то вы можете тогда вычислить ?(?15); если вам известна ?(4), то вы можете вычислить ?(?3); если вам известна ?(1,2), то вы можете выделить ?(?0,2); если вам известна ?(0,6), то вы можете вычислить ?(0,4); если вам известна ?(0,50001), то вы можете вычислить ?(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ?(1 ? s) и ?(s), потому что если s = ¹/₂, то 1 ? s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента ¹/₂. И тем не менее ее значения при аргументах слева от ¹/₂ связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.