Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей

можно переписать в таком виде:

Ряд в скобках здесь равен просто S(x): каждый член, встречающийся в одном, встречается также и в другом из двух выписанных выше рядов, а это и означает, что они совпадают.

Другими словами, S(x) = 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) ? xS(x) = 1, или, другими словами, (1 ? x)S(x) = 1. Следовательно, S(x) = 1/(1 ? x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 ? x)? Может ли равенство

оказаться верным?

Без сомнения, может. Если, например, x = ¹/₂, то 1/(1 ? x) равняется 1/(1 ? ¹/₂), что есть 2. Если x = 0, то 1/(1 ? x) равно 1/(1 ? 0), что есть 1. Если x = ?¹/₂, то 1/(1 ? x) равняется 1/(1 ? (?¹/₂)), т.е. 1:1¹/₂ что есть ²/₃. Если x = ¹/₃, то 1/(1 ? x) равняется 1/(1 ? ¹/₃) т.е. 1:²/₃, что есть 1¹/₂. Если x = ?¹/₃, то 1/(1 ? x) равняется 1/(1 ? (?¹/₃)), т.е. 1:1¹/₃, что есть ³/₄. Все сходится. Для аргументов ?¹/₂, ?¹/₃, 0, ¹/₃, ¹/₂, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x) такие же, как и значения функции 1/(1 ? x). Похоже, что этот ряд и эта функция — одно и то же.

Но они не одно и то же, поскольку у них различные области определения, как это видно из рисунков 9.1 и 9.2. S(x) имеет значения только между ?1 и 1, не включая границы; функция же 1/(1 ? x) имеет значения везде, за исключением точки x = 1. Если x = 2, то ее значение равно 1/(1 ? 2), то есть ?1. Если x = 10, то значение равно 1/(1 ? 10), то есть ?¹/₉. Если x = ?2, то значение равно 1/(1 ? (?2)), то есть ¹/₃. Можно нарисовать график функции 1/(1 ? x). Как видно, он совпадает с предыдущим графиком в промежутке между ?1 и 1, но имеет еще и значения к западу от ?1 (включая саму ?1) и к востоку от 1.

Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).

Это приводит к очевидному вопросу: а не обстоит ли дело подобным же образом и с дзета-функцией? Не случилось ли так, что бесконечная сумма, которую мы использовали для дзета-функции, — выражение (9.1) — описывает только часть этой функции? И у этой функции есть что-то еще, что нам только предстоит открыть? Может ли область определения дзета-функции

оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?

Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 ? x), она имеет значения при всех числах за единственным исключением x = 1.

Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения ?(s) для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr — миллиард триллионов.

Коротко говоря, когда s лишь немного меньше единицы (рисунок 9.3), значения функции очень большие по величине и отрицательные — как если бы при движении на запад при пересечении линии s = 1 значения внезапно переметнулись из бесконечности в минус бесконечность. Если продолжить путешествие по рисунку 9.3 — т.е. устремлять s ближе и ближе к нулю, — то подъем вверх радикально замедляется. Когда s равно нулю, ?(s) равна ?¹/₂. При s = ?2 кривая пересекает ось s, т.е. ?(s) равна нулю.

Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = ?4. График попадает в неглубокую впадину (?0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = ?6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = ?8 и далее в несколько более глубокую впадину (?0,007850880…), затем пересечение с осью в точке ?10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = ?12, впадина поглубже (?0,093717308…), пересечение с осью при s = ?14 и т.д.

Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = ?49.587622654…, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.