Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика - Арбонес Хавьер (читать книги онлайн полностью без регистрации .txt) 📗
Колокольчики различной формы, изготовленные из металлических трубок.
Ri — соотношение частоты данного звука и базового. В свою очередь, подвес должен располагаться на высоте, равной 22,4 % от общей длины трубки. В следующей таблице приведены некоторые значения длин трубок для колокольчиков из семи трубок:
Также можно вычислить длины трубок для более низких звуков, например для нисходящей кварты. В этом случае значение Ri будет обратным значению для восходящей кварты:
* * *
Квинты равномерно темперированного строя несколько меньше чистых квинт. Терции равномерно темперированного строя, в свою очередь, больше чистых терций, но меньше пифагорейских.
Соизмеримость
Пифагорейцам не были известны дроби в том виде, в котором мы их используем сейчас. Вместо этого применялось эквивалентное понятие отношения между целыми числами. Как вы уже увидели, с помощью таких отношений пифагорейцы описали соотношения длин струн, способных производить гармоничные звуки: 2:1, 3:2, 4:3, …
Пифагорейцы были твердо убеждены в том, что числа выражали гармонию Вселенной, поэтому две величины всегда должны быть соизмеримы: их отношение должно выражаться как отношение целых чисел. Понятие соизмеримости напрямую связано с числами, которые мы называем рациональными. Рациональное число — это число, представляемое обыкновенной дробью, числителем которой является целое число, а знаменателем — натуральное. На языке современной математики пифагорейское понятие соизмеримости будет звучать так: две произвольные величины А и В соизмеримы, если существует третья величина С и два целых числа р и q такие, что С укладывается в А р раз, а в В — q раз.
Иными словами, можно, используя всего два целых числа, точно определить, во сколько раз А больше (или меньше) В. Однако уже пифагорейцы, к своему неудовольствию, обнаружили, что существуют несоизмеримые числа, отношение между которыми нельзя представить с помощью целых чисел. В настоящее время такие числа называют иррациональными. Самые известные иррациональные чисда — это π и √2. Корень из двух — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1, вычисленная по теореме Пифагора.
* * *
ТРИ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пифагор находился под влиянием своих знаний о средних величинах (среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом) и о мистицизме натуральных чисел, особенно первых четырех, называемых «тетракис».
Как видно на рисунке ниже,
3:4 — это среднее арифметическое 1 и 1/2:
2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:
Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2,2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) издают приятные звуки. Как вы уже знаете, на основе этих соотношений он создал свой музыкальный строй. Пифагор назвал эти интервалы диапазон, диапент и диатессарон. Мы называем эти интервалы октавой, квинтой и квартой соответственно. Но что случилось со средним геометрическим? Пифагор отказался от него, так как оно было несоизмеримо с остальными? Вовсе нет: среднее геометрическое точно соответствует ноте фа-диез хроматического строя.
* * *
Как вы уже увидели, при настройке интервалов так, чтобы соотношение частот равнялось 18/17, что предлагал Винченцо Галилей, нельзя получить чистые октавы. Число 18/17 достаточно точное, но стоит задаться вопросом: существует ли рациональное число, равное
Их не существует. Следовательно, если соотношение частот звуков описывается отношением целых чисел а/Ь, то цепочка из 12 полутонов не будет равна «настоящей» октаве. Если бы такие числа существовали, то выполнялось бы равенство
и, как следствие, существовали бы два целых числа а’ = а6 и b’ = b6 такие, что (а’/Ь’)2 = 2. Следовательно, число √2 было бы рациональным, что невозможно.
Что сказали бы пифагорейцы, увидев, что задача о создании идеального музыкального строя решается с помощью иррациональных чисел?
Глава 2
Другое измерение: время
Думаю, что ритм — основная, возможно, важнейшая часть музыки: он появился раньше, чем мелодия и гармония, и, признаюсь, я испытываю к нему тайную симпатию.
Оливье Мессиан (1908–1992)
Вселенная непрерывно меняется. Течение времени проявляется в изменении положения предметов, их формы, физических и химических свойств. Биологические, метеорологические, геологические, астрономические явления происходят с течением времени. Явления природы, как и деятельность человека, подчинены определенному ритму.
Равномерно сменяют друг друга фазы Луны, приливы и отливы, времена года, дни и ночи. К счастью, человек смог найти ритм, отличающийся от размеренного ритма, задаваемого стрелками часов. Ритмом называется чередование каких-либо элементов, происходящее с определенной периодичностью. В музыке ритм — это частота, с которой воспроизводится последовательность звуков.
Люди пытались записывать мелодии с помощью символов с античных времен. Невмы, примитивные музыкальные символы, описывали музыкальные фразы и громкость исполнения, но не указывали на высоту звуков или ритмический рисунок. Чтобы читать невмы, исполнитель должен был знать мелодию, которая передавалась из уст в уста.
Ритмические группы. Ритмы, доли, акценты
Когда мы слушаем музыку, то иногда невольно начинаем сопровождать ритм движениями руки, ноги или головы. Эти ритмические группы, которые мы слышим, называются долями. Если слушать музыку внимательно, то можно уловить ритмический рисунок каждой доли, некий внутренний ритм, который называется ритмическим делением. Доли могут делиться на две (бинарное ритмическое деление) или три более мелкие части (тернарное ритмическое деление). Если вам кажется, что доля делится на четыре части, такое ритмическое деление также является бинарным. Большие ритмические группы рассматриваются как сумма более малых, например, 5 = 3 + 2 или 5 = 2 + 3. Можно сказать, что доли — это пульс музыки.
