Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Математика » Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - Грасиан Энрике (лучшие книги читать онлайн txt) 📗

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - Грасиан Энрике (лучшие книги читать онлайн txt) 📗

Тут можно читать бесплатно Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - Грасиан Энрике (лучшие книги читать онлайн txt) 📗. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

также имеет конечную сумму, но это не так. Данный ряд, которым особенно интересовался Эйлер, называется гармоническим. Эйлер использовал его, чтобы получить еще одно доказательство бесконечности множества простых чисел.

* * *

БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА

Братья Якоб (1654–1705) и Иоганн (1667–1748) Бернулли занимались изучением гармонических рядов. Особенно активно они работали в период между 1689 и 1704 гг. Именно они доказали, что некоторые ряды расходятся. Воодушевленные результатами, они взялись за ряд обратных квадратов:

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _32.jpg

Якоб показал, что ряд сходится, и ему даже удалось доказать, что сумма ряда меньше или равна двум, но он не смог найти точное значение. Он так увлекся этой проблемой, что сказал: «Велика будет наша благодарность, если кто-нибудь найдет и сообщит нам о том, что до сих пор избегало нашего внимания». Эта проблема известна как «базельская задача», потому что Якоб заведовал кафедрой математики в университете швейцарского города Базеля, и именно там он произнес свои знаменитые слова.

Многие великие математики, в том числе Менголи и Лейбниц, не смогли решить эту задачу, не говоря уже о совместных усилиях братьев Бернулли. И лишь спустя 30 лет решение было найдено «волшебником» Эйлером. Результат был действительно впечатляющим:

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _33.jpg

Эйлер писал об этом результате так:

«…Я сейчас обнаружил вопреки всем ожиданиям элегантное выражение для суммы ряда 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …, которое имеет отношение к квадратуре круга… Я обнаружил, что сумма этого ряда, умноженная на 6, равна квадрату длины окружности, диаметр которой — единица».

К сожалению, Якоб умер к тому времени, когда Эйлер опубликовал свои результаты. «Эх, если бы мой брат был жив!» — воскликнул Иоганн.

«Волшебником» Эйлера называли из-за совершенно магических методов, которые он использовал в доказательствах. На самом деле доказать этот результат совсем не сложно, но такой подход требует некоторых знаний высшей математики и показывает смелость Эйлера, который рассмотрел этот ряд в качестве полиномиальной функции, а затем связал его с разложением в ряд функции синуса. Отсюда и появилось число π, которое является одним из нулей синуса.

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _36.jpg

Иоганн Бернулли был учителем Эйлера и одним из лучших математиков своего времени.

* * *

Гармонический ряд расходится, и это означает, что сумма его членов бесконечна, но расходится он чрезвычайно медленно по сравнению с рядом вида

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _34.jpg

Работая с гармоническим рядом, Эйлер вывел функцию, вошедшую в историю как одна из важнейших функций математики: «дзета-функция Эйлера», которая в настоящее время несколько несправедливо называется «дзета-функцией Римана».

Для ее обозначения Эйлер использовал греческую букву ζ (дзета):

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _35.jpg

Если взять х = 1, то мы получим уже известный нам гармонический ряд

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _37.jpg
причем мы знаем, что его сумма бесконечна. Однако Эйлер предполагал, что при х = 2 сумма ряда

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _38.jpg

не будет бесконечной, так как здесь содержатся только некоторые члены гармонического ряда, а именно дроби с квадратами. Но найти сумму этого ряда было практически невозможно, используя знания того времени. Тем не менее Эйлеру удалось блестяще доказать следующее равенство:

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _39.jpg

Эйлер сделал это открытие в возрасте 28 лет, хотя ему понадобилось еще шесть лет, чтобы отшлифовать доказательство. Неожиданное появление в выражении для суммы ряда числа π, которое встречается в формулах площади круга и длины окружности, вызвало удивление всего математического сообщества того времени. С помощью этого результата Эйлер смог решить одну из самых интригующих проблем того времени, так называемую «базельскую задачу».

Экспериментируя с дзета-функцией, Эйлер получил ряд результатов. Например, он уже знал, что при х, меньших или равных 1, сумма ряда бесконечна, и что, следовательно, ряд сходится только при х, больших 1.

* * *

ЭЙЛЕР И МИР ЗВУКОВ

Эйлер догадался использовать мнимую переменную в так называемой экспоненциальной функции f (х) = 2х. Он был поражен, обнаружив, что график этой функции содержит волнообразные линии, которые встречаются при попытках изобразить музыкальные ноты. В зависимости от значений, принимаемых этими мнимыми числами, волны соответствовали более высоким или более низким нотам.

Несколько лет спустя французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) разработал метод анализа периодических функций, основанный на результате Эйлера, который связал аналитические методы и мир звуков.

* * *

Эйлер попытался связать простые числа с функциями. Он знал, что по основной теореме арифметики любое натуральное число может быть единственным способом выражено в виде произведения простых чисел. Это означало, что знаменатель каждой из дробей в разложении дзета-функции может быть записан в виде произведения простых чисел. Например, запишем дзета-функцию для х = 2:

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _40.jpg

и возьмем дробь 1/360. Разложим ее знаменатель, 360, на простые множители:

360 = 23 х З2 х 5, так что

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _41.jpg

Возведем обе части в квадрат:

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _42.jpg

Проделав это с каждым из знаменателей дзета-функции, Эйлер получил выражение

Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - _43.jpg

которое содержит только простые числа. В левой части этого выражения стоит бесконечная сумма, а в правой — произведение, также состоящее из бесконечного множества чисел. Это выражение, названное «эйлеровым произведением», является краеугольным камнем, на котором в последующие века строилось здание аналитической теории чисел. Оно стало отправной точкой, с которой Риман начал наводить порядок в хаотическом царстве простых чисел, о чем подробнее мы расскажем в шестой главе.

Гипотеза Гольдбаха

Прусский математик Кристиан Гольдбах (1690–1764) часто переписывался с Эйлером. 18 ноября 1752 г. Гольдбах послал ему письмо, содержащее следующее утверждение: «Любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел». Выражение «сумма двух простых чисел» включало в себя и случаи, когда простое число повторяется. Например,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7

Перейти на страницу:

Грасиан Энрике читать все книги автора по порядку

Грасиан Энрике - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности отзывы

Отзывы читателей о книге Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности, автор: Грасиан Энрике. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*