Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон (бесплатные онлайн книги читаем полные .TXT) 📗
В этом случае закон, по которому изменяется тяжесть, зависит от фигуры земного сфероида, в свою очередь зависящей от закона тяжести. Эта взаимная зависимость двух неизвестных величин очень затрудняет исследование фигуры Земли. К счастью, эллиптическая фигура, самая простая из всех замкнутых фигур после сферы, удовлетворяет равновесию наделённой вращательным движением жидкой массы, у которой все молекулы притягиваются обратно пропорционально квадратам расстояния. Ньютон удовольствовался этим предположением и, исходя из этой гипотезы и полагая Землю однородной, нашёл, что две оси этой планеты относятся как 229 к 230. Отсюда легко вывести закон изменения веса на Земле. Для этого рассмотрим различные точки, расположенные на одном и том же радиусе, проведённом из центра к поверхности однородной жидкой массы, находящейся в равновесии. Все подобные эллиптические слои, которые покрывают какую-либо из них, не сказываются на её весе, и равнодействующая притяжений, которые она испытывает, зависит исключительно от притяжения эллипсоида, подобного полному эллипсоиду, поверхность которого проходит через эту точку. Одинаковые и подобно расположенные молекулы этих двух эллипсоидов притягивают эту точку и соответствующую ей точку на внешней поверхности пропорционально массам, разделённым на квадраты расстояний. Массы относятся как кубы соответствующих размеров этих двух эллипсоидов, а квадраты расстояний относятся как квадраты тех же размеров. Поэтому притяжения подобных молекул пропорциональны этим размерам, откуда следует, что полные притяжения обоих эллипсоидов находятся в таком же отношении, и их направления параллельны. Центробежные силы в двух точках, которые мы рассматриваем, тоже пропорциональны тем же размерам, а силы тяжести в них, являющиеся равнодействующими всех этих сил, относятся между собой как их расстояния от центра жидкой массы.
Теперь, если представить себе два столба жидкости, направленных из центра сфероида: один — к полюсу, а другой — к какой-либо точке его поверхности, ясно, что если сфероид сжат очень мало, силы тяжести, разложенные по направлениям этих столбов, будут почти такими же, как и полные силы тяжести. Поэтому, разделив оба столба на равное число бесконечно малых частей, пропорциональных их длине, получим, что веса соответствующих частей будут относиться между собой как произведения длин этих столбов на вес в точках поверхности, где они кончаются. В результате полные веса этих столбов жидкости будут находиться в том же отношении. Для равновесия эти веса должны быть равны. Следовательно, веса на поверхности должны быть обратно пропорциональны длине столбов. А так как радиус экватора длиннее полярного на 1/230, вес на полюсе должен на 1/230 превышать вес на экваторе.
Это предполагает, что эллиптическая фигура удовлетворяет равновесию массы однородной жидкости, что показал Маклорен с помощью очень красивого метода, из которого следует, что в этом случае возможно точное равновесие и что, если эллипсоид сжат очень мало, эллиптичность равна 5/4 отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе.
Одному и тому же вращательному движению соответствуют две различные фигуры равновесия, но равновесие не может существовать при любых таких движениях. Самая малая продолжительность одного оборота находящейся в равновесии однородной жидкости той же плотности, что и средняя плотность Земли, равна 0.1009 суток, и этот предел меняется обратно пропорционально квадратному корню из плотности. Когда вращение быстрее, жидкая масса сжимается с полюсов, что уменьшает продолжительность оборота до предела, требуемого состоянием её равновесия.
После большого числа колебаний жидкость из-за трения и сопротивления, которые она испытывает, стабилизируется в этом единственном и определяемом начальным движением состоянии, и, каковы бы ни были начальные силы молекул, ось, проходящая через центр тяжести жидкой массы, по отношению к которой первоначальный момент сил был наибольшим, становится осью вращения.
Изложенные результаты дают простой способ проверки предположения об однородности Земли. Нерегулярность градусов измеренных меридианов оставляет слишком большую неуверенность в величине сжатия Земли, чтобы определить, удовлетворяет ли оно, хотя бы приблизительно, высказанному предположению. Но довольно правильное возрастание тяжести от экватора к полюсам может пролить свет на этот вопрос. Если принять за единицу тяжесть на экваторе, её приращение на полюсе равно 0.00435 при условии, что Земля однородна. По наблюдениям маятников это приращение получается равным 0.0054. Следовательно, Земля — неоднородна. В самом деле, естественно думать, что плотность её слоёв увеличивается от поверхности к центру. Для устойчивости равновесия морей даже необходимо, чтобы их плотность была меньше средней плотности Земли. Иначе вода, движимая ветрами и другими причинами, часто выходила бы из своих пределов и затопляла бы континенты.
Поскольку однородность Земли исключается наблюдениями, для определения её фигуры необходимо рассматривать море как бы покрывающим некоторое ядро, плотность слоёв которого уменьшается от центра к поверхности. В своей прекрасной работе о фигуре Земли Клеро показал, что равновесие возможно также, если предположить эллиптическими фигуру её поверхности и слоёв её внутреннего ядра. При наиболее вероятных предположениях о законах плотности и эллиптичности этих слоёв сжатие Земли оказывается меньшим, чем в случае однородности, и большим, чем если бы сила тяжести была направлена в одну единственную точку. Возрастание тяжести от экватора к полюсам получается большим в первом случае, чем во втором. Но между полным приращением тяжести, взятой за единицу на экваторе, и эллиптичностью Земли существует замечательное соотношение. При любых гипотезах о структуре ядра, покрытого морем, насколько эллиптичность всей Земли меньше той, которая была бы в случае однородности, настолько же общее приращение тяжести больше того, которое было бы в этом же случае, и наоборот. Следовательно, сумма этого приращения и эллиптичности всегда одинакова и равна пятикратной половине отношения центробежной силы к силе тяжести на экваторе, что для Земли составляет 1/115.2.
Если предположить, что слои земного сфероида имеют эллиптическую форму, возрастание его радиусов и силы тяжести, а также уменьшение градусов меридиана от полюсов к экватору пропорциональны квадрату косинуса широты и связаны с эллиптичностью Земли таким образом, что полное возрастание радиусов равно этой эллиптичности; полное уменьшение градусов равно эллиптичности, умноженной на утроенную величину градуса на экваторе; и полное возрастание силы тяжести равно силе тяжести на экваторе, умноженной на избыток 1/115.2 над этой эллиптичностью. Таким образом, можно определить эллиптичность Земли либо путём градусных измерений, либо по наблюдениям маятников. Совокупность этих наблюдений даёт величину возрастания силы тяжести от экватора к полюсам, равную 0.0054. Вычитая эту величину из 1/115.2, получаем сжатие Земли равным 1/304.8. Если предположение об эллиптичности фигуры Земли соответствует природе вещей, это сжатие должно удовлетворять и градусным измерениям. Но оно, напротив, выявляет в них значительные погрешности, что вместе с трудностью приведения всех измерений к одному и тому же эллиптическому меридиану, по-видимому, указывает на то, что фигура Земли сложнее, чем думали раньше. Это не покажется удивительным, если принять во внимание неравномерность глубин морей, возвышение континентов и островов над их уровнем, высоту гор и неравномерность плотностей различных пород на поверхности этой планеты.
Чтобы наиболее полно охватить теорию фигуры Земли и планет, надо было бы определить притяжение сфероидов, мало отличающихся от сферы и образованных, следуя определённым законам, из переменных по форме и плотности слоёв. Кроме того, надо было бы определить фигуру, соответствующую равновесию жидкости, покрывающей её поверхность, так как необходимо представлять себе планеты покрытыми, как и Земля, находящейся в равновесии жидкостью, поскольку иначе их фигура была бы совершенно. произвольной. Даламбер дал для этого хитроумный метод, применимый к большому числу разных случаев. Но этому методу не хватает той простоты, которая столь желательна в таких сложных изысканиях и составляет их главное достоинство. Одно замечательное уравнение в частных производных, относящееся к притяжению сфероидов, привело меня без помощи интегрирования, одним лишь дифференцированием, к общему выражению, которое даёт радиусы сфероидов, притяжение ими любых точек, помещённых внутри них, на их поверхности или вне их, условия равновесия покрывающих их жидкостей, законы силы тяжести и изменения длины градусов меридиана на поверхности этих жидкостей. Все эти величины связаны между собой очень простыми соотношениями, в результате чего появляется возможность проверить предположения, которые можно сделать для представления как наблюдённых изменений силы тяжести, так и градусных измерений меридиана. Бугер, желая представить градусные измерения в Лапландии, во Франции и на экваторе, предположил, что Земля является сфероидом вращения, у которого увеличение градусов меридиана от экватора к полюсам пропорционально четвёртой степени синуса широты. Однако мы находим, что это предположение не может удовлетворить увеличению силы тяжести от экватора до Пелло, увеличению, которое по наблюдениям равно 0.0045 полной силы тяжести, но по этому предположению равнялось бы лишь 0.0027.
