Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович (книги полностью бесплатно txt) 📗

Итальянская практика.

Странное названіе, чуждое нашимъ учебникамъ! Что же это за правило?

До XIX стол?тія оно обязательно было во вс?хъ ари?метикахъ. Какъ показываетъ самое заглавіе, итальянская практика обязана своей разработкой итальянцамъ (главнымъ образомъ Тарталь?), и ка-сается она пріемовъ, вызванныхъ практикой и приложимыхъ на практик?. Происхожденіе ея сл?дующее. Въ то время, какъ среднев?ковая ари?метика старалась изъ вс?хъ силъ напичкать ученика всевозможными готовыми правилами, по которымъ, какъ по шаблону, можно было р?шать любой вопросъ, не затрудняя себя придумываніемъ способовъ, въ это время, въ противов?съ такому направленію, природная челов?ческая см?тливость, естественная пытливость и нич?мъ неуничтожаемая потребность думать — искали себ? выхода, находили его въ изобр?теніи оригинальныхъ пріемовъ, которые бол?е соотв?тствовали характеру каждаго вопроса, облегчали и упрощали его. Такимъ образомъ, итальянская практика — это собраніе искусственныхъ пріемовъ, отчасти письменныхъ, иногда устныхъ, нер?дко простонародныхъ, которые здравымъ челов?ческимъ разсудкомъ противопоставляются заученнымъ формуламъ сухой науки. Склонность къ такимъ пріемамъ живетъ во всякомъ народ?, и итальянцы н?сколько опередили остальныхъ только потому, что ихъ роль коммерсантовъ и посредниковъ скор?е дала выходъ природнымъ задаткамъ.

Тарталья различаетъ простую итальянскую практику и искусственную. Простой практикой р?шаются вопросы не особенно сложные, которые относятся главн. обр. къ простому тройному правилу. Первый прим?ръ: 8 килограммовъ саго стоятъ 3,80 марокъ., что стоятъ 12 килограммовъ саго? Для р?шенія мы сперва высчитаемъ стоимость 4 килограммовъ, а для этого достаточно 3,80 марокъ разд?лить пополамъ, потому что 4 килограмма составляютъ половину 8, и сл?д., ц?на ихъ составляетъ половину 3,80 марокъ, зат?мъ складываеиъ стоимость 8-ми килогр. и 4-хъ и получаемъ искомую ц?ну 12-ти:

Приведемъ еще прим?ръ, въ которомъ удобн?е не складывать, а вычитать: 15 арш. матеріи стоятъ 16,80 рублей, что стоятъ 10 аршинъ матеріи?

Искусственная итальянская практика состоитъ въ сл?дующемъ. Если въ задач? встр?чается какой-нибудь сложный множитель, то разбиваютъ его на слагаемыя и эти слагаемыя подбираютъ такъ, чтобы самое большое являлось кратнымъ остальныхъ, или вообще одно слагаемое содержало въ себ? другое; когда намъ удалось такъ разложить, то мы умножимъ данное число на большее слагаемое, а вс? остальныя произведенія получимъ д?леніемъ и именно воспользуемся свойствомъ, что во сколько разъ меныне множитель, во столь-ко же разъ меныпе и произведеніе. Прим?ръ: сколько прибыли получится съ 9000 руб. по 4% за 1 годъ 2 м. 24 д? Въ этомъ случа? вычисляемъ сперва прибыль за 1 годъ, потомъ за ¹/₆ года, т.-е. за 2 м?сяца, для этого д?лимъ годовую прибыль на 6, потомъ вычисляемъ за 20 дней — они составляютъ ? двухъ м?сяцевъ, потомъ за 4 дня, т.-е. за ¹/₅ двадцати дней; въ конц? вс? полученныя прибыли складываемъ. Тарталья даетъ подобнымъ задачамъ такое расположеніе:

Еще прим?ръ: найти прибыль съ 6000 р. по 4% за 1 г. 7 м. 9 дней.

Изъ этихъ прим?ровъ можно понять, ч?мъ отличается итальянская практика отъ тройного правила: въ тройномъ правил? идетъ приведеніе къ единиц? или, точн?е сказать, къ простой единиц?, зд?сь же вопросъ приводится къ сложной единиц?, т. е. къ групп? единицъ. Это видн?е на такомъ прим?р?: 22 фунта стоятъ 10 руб., сколько стоятъ 33 ф.? По итальянской практик? не надо приводить этого вопроса къ 1 фунту, а удобн?е привести прямо къ кратной части всего количества, къ 11 фун.; получимъ ихъ стоимость=5 р.; а потомъ остается 5 руб. повторить 3 раза.

Въ посл?днее время задачи на приведеніе къ кратной части и на сложеніе кратныхъ частей стали встр?чаться въ н?которыхъ задачникахъ, особенно для начальной школы. Это очень хорошо, потому что такіе вопросы развиваютъ сообразительность, даютъ просторъ выбору и обсужденію способовъ и вообще соотв?тствуютъ истинной ц?ли ари?метики, какъ общеобразовательнаго учебнаго предмета, им?ющаго ввиду развить умъ, а не только снабдить ученика навыками счета.

Фальшивое правило.

Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громаднымъ вниманіемъ. По крайней м?р?, у Магницкаго особая 4-я часть его ари?метики была посвящена правиламъ „фальшивымъ или гадательнымъ“, въ то время, какъ въ 1-й части шли д?йствія надъ ц?лыми числами, во 2-й надъ дробями, въ 3-й пом?щено тройное правило и въ 5-й и посл?дней о „прогрессіи и радиксахъ (т. е. корняхъ) квадратныхъ и кубичныхъ". Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное названіе? Магницкій какъ бы предвидитъ подобный вопросъ и потому объясняетъ успокоительно:

 Объяснимъ это правило на общеязв?стной задач? о гусяхъ, кстати она и пом?щена въ ари?метик? Румовскаго (1760 г.), какъ прим?ръ фальшиваго правила. Задача такая:

Р?шеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, сл?довательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь сл?дуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія

20 24

   X

44 33

вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 - 20 · 33 = 1056 - 660= 396 и этотъ остатокъ 396 разд?лить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396 :11 = 36, в?рный отв?тъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, зат?мъ высчитать погр?шность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погр?шность; тогда

Способъ фальшиваго правила былъ изв?стенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей в?роятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впосл?дствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ вс? арабскіе математики.

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь сл?дующій прим?ръ: «найти такое число, что если отнять отъ него ? и ? его, то въ остатк? будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вм?сто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формул? р?шенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правил?, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задач? одинъ отв?тъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 19¹/₅. О фальшивомъ правил? много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило изв?стно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или зат?йчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же н?ціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ ч?мъ погр?шается».