Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович (книги полностью бесплатно txt) 📗

Вм?сто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться прим?нять это къ д?лу, т. е. къ прим?рамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на бол?е скромномъ—на томъ, какъ прим?нить общее правило къ прим?рамъ.

И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, прим?нить это правило было сравнительно нетрудно. За вс? эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.

Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи р?шались большею частію приведеніемъ къ единиц?. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебр?. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отд?лъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гд? даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Прим?ръ: 100 rotuli (пизанскій в?съ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:

Правило предписывало р?шать эту задачу сл?дующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 д?лить на 100.

 Особенное вниманіе, стали уд?лять тройному правилу съ ХVІ-го в?ка, т. е. съ т?хъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобр?теніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не м?шало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней м?р?, съ нашей точки зр?нія. Прежде всего опред?лялось правило чисто вн?шнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опред?лится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то разд?лить на 1-е число». Такое опред?леніе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно р?шать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразум?ніе учебники не считали нужнымъ. Кром? того, р?шались задачи не только съ ц?лыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ари?метикахъ он? располагались такъ непосл?довательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило пом?щались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ари?метики дробныхъ чиселъ.

Посл? тройного правила съ ц?лыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать н?которыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отд?лъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой групп?; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ род? сл?дующаго: «Если м?ра зерна стоитъ 1? марки, то на 1 марку даютъ два пуда хл?ба; сколько пудовъ хл?ба дадутъ на марку, если м?ра зерна стоитъ 1? марки; р?шаемъ тройнымъ правиломъ, получится

но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хл?ба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ

.»

Въ подобномъ дух? трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)

 За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотв?тствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ в?к? такъ:

Простое и сложное тройное правило распред?лялись обыкновенно въ XVI—XVIII вв. на массу мелкихъ отд?ловъ, которые носили очень замысловатыя названія, въ зависимости отъ содержанія задачъ. Вотъ эти названія по Магницкому: a «тройное торговое правило», т. е. вычисленіе стоимости купленнаго товара; b «тройное торговое о купляхъ и продажахъ»,—то же, что и предыдущее, но только посложн?е; c «тройное торговое въ товарныхъ овощахъ и съ выв?скою», когда приходится д?лать вычетъ за посуду и вообще оболочку; d «о прибыли и убытк?»; e «статья вопросная въ тройномъ правил?», въ ней задачи очень разнообразнаго содержанія, по большей части съ обратной пропорціональностью; f «статья вопросная со временемъ», гд? спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.

Въ начал? ХІХ-го в?ка было предложено Базедовымъ еще изм?неніе въ тройномъ правил? и опять въ ту-же самую сторону машинальнаго, безсознательнаго навыка. Этотъ н?мецкій педагогъ задался ц?лью еще бол?е упростить р?шеніе задачъ на тройное правило т?мъ, что еще сильн?е уменьшить разсужденіе при ихъ р?шеніи и зам?нить его письмомъ готовой формулы. Онъ сов?туетъ располагать данныя числа 2 столбцами: въ л?вомъ пишется неизв?стное количество и вс? т? числа, которыя должны войти въ числители формулы, а въ правомъ—вс? множители, составляющіе знаменателя. Прим?ръ: для продовольствія 1200 челов?къ въ теченіе 4 м?сяцевъ требуется 2400 центнеровъ муки; на сколько челов?къ 4000 центнеровъ выйдетъ въ 3 м?сяца? Пишемъ 2 столбца:

?      — 1200

2400 — 4000

3      —      4

и получаемъ формулу отв?та

. Почему числа 1200, 4000 и 4 вошли въ числителя, а 2400 и 3—въ знаменателя? На это можно отв?тить такимъ правиломъ: въ числителя входитъ число, однородное съ искомымъ, т. е. въ нашемъ случа? число 1200; кром? того въ него же входятъ вс? т? числа второго условія {4000 · 4), которыя прямо пропорціональны искомому; если же они обратно пропорціональны, какъ въ нашемъ прим?р? 3, то они зам?няются соотв?тствующнми числами 1-го условія (4-мя).

Вотъ все, что мы можемъ сообщить объ историческомъ развитіи тройного правила. Изъ всего сказаннаго можно сд?лать заключенiе, которое годится для нашего времени. Среднев?ковая ари?метика, съ ея стремленіемъ давать только правила и пропускать выводы, съ ея механическимъ р?шеніемъ вопросовъ, им?ла слишкомъ большое вліяніе на всю посл?дующую школьную жизнь, и настолько большое, что сл?ды его проявляются на каждомъ шагу и въ наше время. Какъ бы мы ни старались отряхнутьоя отъ традиціи, освободиться отъ привычки, но он? слишкомъ т?сно насъ охватили и слишкомъ кр?пко къ намъ привлеились, чтобы ихъ можно было отбросить безъ остатка. Наша школа все еще повинна въ механическомъ заучиваніи ари?метики, безъ достаточнаго участія сознательности. Тройное правило служитъ хорошимъ доказательствомъ этого. Нер?дко забываетъ наша средняя и низшая школа, что она призвана давать общее образованіе, а не готовить бухгалтеровъ, конторщиковъ, счетчиковъ и т. п. Между т?мъ ремесленные пріемы итальянцевъ и н?мцевъ, стремившихся не развить челов?ка, а сд?лать изъ него счетную машину, прим?няются нер?дко и теперь. Къ чему вс? эти правила: тройное, см?шенія и т. д.? Какой ц?ли они должны удовлетворять? Они должны являться выводомъ изъ р?шенныхъ задачъ, а не предшествовать р?шенію задачъ; вредно р?шать задачи по предварительно усвоенному правилу, но надо стараться доходить до отв?та свободнымъ личнымъ соображеніемъ. Однимъ словомъ, правило не надо понимать въ вид? рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разныя мудреныя р?шенія; но имъ сл?дуетъ дорожить только какъ выводомъ, къ которому приходитъ ученикъ: если ученикъ не можетъ сд?лать этого вывода, то это значитъ, что задачъ взято мало, или он? расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить бол?е систематическимъ расположенiемъ задачъ; если ученикъ д?лаетъ не такой полный и обстоятельный выводъ, какой хот?лось бы учителю, то лучше удовольствоваться имъ, ч?мъ заставлять разучивать правило, навязанное учебникомъ: оно скоро забудется и не окажетъ развивающаго д?йствія, такъ какъ необходимымъ качествомъ математическаго вывода должна быть самостоятельность, а необходимьмъ условіемъ сознательности должно быть т?сное связываніе вс?хъ частей курса, почему и не можетъ им?ть м?ста механическое вкладываніе въ голову отд?льныхъ кусковъ, усвояемыхъ памятью.