Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович (книги полностью бесплатно txt) 📗

Знакомъ д?ленія до XVIII ст. являлись, обыкновенно, дв? перекрещивающихся черты, которыя шли отъ числителя первой дроби къ знаменателю второй и отъ знаменателя первой къ числителю второй. Только съ развитіемъ алгебры, когда потребовался общій знакъ д?ленія и для ц?лыхъ чиселъ и для дробей, стали обозначать это д?йствіе такъ же въ дробяхъ, какъ и въ ц?дыхъ числахъ, т.-е. двумя точками.

Приведемъ еще неболыпой интересный отрывокъ, который хорошо показываетъ, къ какимъ хитростямъ нужно было приб?гать среднев?ковымъ ученымъ, когда имъ давался трудный прим?ръ съ дробями. Въ Зальцбургскомъ (Австрія) сборник?, отноеящемся къ XVII в?ку^[1], надо было вычислить земной радіусъ по окружности земли. Изв?стно, что окружность въ 3¹/₇ раза больше своего радіуса, и поэтому, чтобы получить радіусъ земли, достаточно ея окружность разд?лить на ²²/₇. Принимая окружность за 252000, составитель находитъ ⁷/₂₂ этого числа, т.-е. умноженіемъ на ⁷/₂₂ зам?няетъ д?леніе на ²²/₇. Умноженіе же онъ ведетъ такъ. Сперва вычисляетъ ¹/₂₂ всего числа, получится 11454?, зат?мъ вычитаетъ эту величину изъ 252000, будетъ 240544? ²¹/₂₂. Треть этого числа и составитъ искомый отв?тъ, т.-е. земной радіусъ, такъ какъ ²¹/₂₂ : 3 = ⁷/₂₂.

Шестидесятеричныя дроби.

Древніе халдеи, образованность которыхъ исходитъ изъ глубины в?ковъ и позволяетъ просл?дить свои пути дал?е, ч?мъ на 1000 л?тъ до Р. X., издавна любили считать по копамъ, т.-е. группами по 60. Почему они остановились именно на этомъ числ?,—теперь р?шить, конечно, нелегко, но выборъ этотъ надо считать чрезвычайно удачнымъ, такъ какъ число 60 обладаетъ массой д?лителей и, сл?дов., р?же приводитъ къ дробямъ, ч?мъ большинство другихъ чиселъ, и позволяетъ д?лать много упрощеній. Халдеи прим?няли шестидесятеричный счетъ везд?: и въ торговыхъ д?лахъ, и въ научныхъ выкладкахъ, особенно же въ любимой своей наук?, которая многимъ обязана ихъ трудамъ,—въ астрономіи. Привычка къ числу 60 сама собой перешла и на дроби, и вотъ у халдеевъ явились шестидесятеричныя дроби, т.-е. со знаменателемъ 60, 3600 = 60. 60, 216000 = 60. 60. 60. Эти дроби прим?нены были въ астрономіи къ д?ленію времени, такъ что часъ сталъ д?литься на 60 равныхъ частей (минутъ), минута на 60 секундъ, секунда на 60 терцій и т. д. Вс? простыя дроби халдеями обыкновенно приводились въ шестидесятыя доли и даже, напр., ? они выражали не иначе, какъ черезъ ⁴⁰/₆₀.

Отъ халдеевъ шестидесятеричныя доли перешли къ индусамъ и арабамъ, и также къ грекамъ. Особенно он? были разработаны греческими учеными, жившими въ Александріи въ первые в?ка по Р. X. Знаменитый астрономъ Клавдій Птоломей (во II в. по Р. X.), система котораго держалась бол?е тысячи л?тъ и признавалась въ свое время геніальнымъ твореніемъ, писалъ, обыкновенно, шестидесятеричныя дроби безъ знаменателя. Для этого онъ ц?лыя числа подчеркивалъ горизонтальной чертой, шестидесятыя доли отм?чалъ значком ?, 3600-ыя значком ?, 216000-ыя доли значкомъ ? и т. д., смотря по ихъ разряду. И это д?лалось не только при изм?реніи времени и при градусахъ дуги, но и въ м?рахъ длины и въ другихъ м?рахъ. Такъ, напр., Птоломей выражаетъ сторону правильнаго вписаннаго десятиугольника черезъ — 37 4? 55?, при діаметр? круга, равномъ 120. Это значитъ, что если діаметръ составляетъ 120, то сторона равняется

такихъ же единицъ (по порядку, принятому въ настоящее время въ геометріи, сторону эту можно выразить въ десятичныхъ дробяхъ чрезъ 0,30902, при діаметр?, равномъ единиц?).

Горизонтальная черта, которой подчеркивались ц?лыя чиcла, была зам?нена впосл?дствіи знакомъ °, и самимъ долямъ были присвоены названія: минуты, секунды, терціи и т. д. Что значатъ эти слова? Минута значитъ «доля», и долго посл? Птоломея, бол?е тысячи л?тъ, всевозможныя доли всегда назывались минутами (minutae). Къ слову минута присоединялось, обыкновенно, слово прима (prima), и выраженіе «minuta prima» обозначало первыя доли, иначе сказать доли перваго порядка, т.-е. со знаменателемъ 60. Дал?е шли доли со знаменателемъ 3600, он? назывались минутами секундами, т.-е. долями второго порядка, такъ какъ 3600 = 60·60. Потомъ сл?довали минуты терціи, доли третьяго порядка, у которыхъ знаменатель 60·60·60.

Шестидесятеричныя дроби, какъ мы уже сказали, служили не только для геометріи и астрономіи, но являлись преобладающими во вс?хъ наукахъ и даже въ практической жизни. Он? стали терять свое значеніе только тогда, когда начали вводиться десятичныя дроби, приблизительно около ХVІ в. по Р. X. Кром? того, въ торговыхъ разсчетахъ н?которую конкуренцію имъ составляли обыкновенныя дроби, которыя носили названіе «простонародныхъ», а также унціи, изучавшіяся во вс?хъ латинскихъ школахъ.

Десятичныя дроби.

Первые намеки на десятичныя дроби можно просл?дить у творцовъ ари?метики,—индусовъ. Они пользовались ими при извлеченіи квадратныхъ корней, въ т?хъ случаяхъ, когда корень не извлекается точно; тогда они прписывали столько паръ нулей, сколько желательно им?ть лишнихъ знаковъ въ корн?. Индусы писали десятичныя дроби со знаменателями, и имъ не удалось распространить общей десятичной нумераціи также и на дроби. Заслуга въ этомъ отношеніи принадлежитъ арабамъ, и въ частности т?мъ арабамъ, которые жили въ Испаніи. Между 1130 и 1150 г. по Р. X. появилось въ Толедо сочиненіе «Практическая ари?метика алгоризма», принадлежащее Іоанну Севильскому. У него уже зам?тны явственные сл?ды десятичныхъ дробей, и при томъ съ такимъ характеромъ, какой он? носятъ у насъ.

Посл? Іоанна Севильскаго десятичныя дроби какъ-то стушевываются, т?мъ бол?е, что т? времена были не особенно благопріятны вообще для западно-европейской науки. Но идея не пропала, и ее мы видимъ возрожденной у Кардана (XVI ст.). Между прочимъ, он? стали прим?няться въ тригонометріи для вычисленія синусовъ. Кр-м? того, стали ими пользоваться при д?леніи съ остаткомъ, чтобы выразить отв?тъ точн?е и дать въ частномъ не только ц?лыя числа, но и рядъ долей съ десятичными знаменателяии. Грамматеусъ въ 1523 году сов?туетъ прим?нять десятичныя дроби къ такому случаю. Пусть требуется сравнить ? съ ? и узнать, которая величина больше. Тогда мы къ каждому числителю приписываемъ по нулю, иначе сказать—раздробляемъ въ десятыя доли, и д?лимъ на знаменателя, получимъ 62? и 66?, сл?д., вторая величина бол?е первой.

Честь полнаго введенія десятичныхъ дробей и ихъ толковаго объясненія приписывается Симону Стевину изъ Брюгге (въ Бельгіи), жившему съ 1548 по 1620 г. Заглавіе его сочиненія такое: «La disme ensignant facilement expedier par nombres entiers sans rompouz tous comptes se rencontrans aux affaires des hommes». Вм?сто запятой, отд?ляющей ц?лыя числа отъ долей, это сочиненіе рекомендуетъ ставить нуликъ. заключенный въ скобки. Точно также и у долей былъ при каждомъ разряд? значекъ, напр., 34,7605 писалось сл?дующимъ образомъ: 34 (°) 7 (¹) 6 (²) 0 (³) 5 (⁴). Съ такимъ обозначеніемъ десятичныя дроби входили и въ д?йствія. Положимъ, требовалось умножить 0,0426 на 0,28; тогда вычисленіе располагалось такъ:

Сочиненіе Стевина появилось первоначально въ 1585 г. на фламандскомъ нар?чіи, а потомъ уже оно было переведено и на французскій языкъ. Десятыя, сотыя и т. д. доли назывались долями первыми, вторыми и т. д. (primes, secondes). Стевинъ ясно вид?лъ, что десятичныя дроби были бы особенно полезны въ томъ случа?, если бы везд? была принята десятичная система м?ръ; поэтому онъ энергично настаивалъ на введеніи десятичной системы м?ръ. Впрочемъ, его сочиненіе не сд?лалось изв?стнымъ за пред?лами отечества, и, напр., въ Германіи заслуга введенія десятичныхъ дробей приписывается Бейеру (1563—1625).