Досуги математические и не только. Книга 2 - Кэрролл Льюис (книги без регистрации полные версии .txt) 📗
Во втором случае по решении установится вид:
![Досуги математические и не только. Книга 2 - _042.jpg](https://goldenlib.ru/frontend/web/pic/2/6/3/3/6/5/263365/1442055668/_042.jpg)
ход же рассуждения будет таков. Начинаем с деления 27 на 7 и вычитания частного, 3, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 6, к следующей цифре, 9; то есть говорим: «3 из 69 будет 66». Затем делим это 66 на 7 и вычитаем частное, 9, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 3, к следующей цифре, 1; то есть говорим: «9 из 31 будет 22». Затем говорим: «3 из 10 будет 7, 1 из 3 будет 2, 0 из 28 будет 28, 4 из 5 будет 1, 0 из 16 будет 16, 2 из 24 будет 22, 3 из 15 будет 12, 1 из 55 будет 54, 7 из 58 будет 51, 7 из 23 будет 16, 2 из 26 будет 24, 3 из 31 будет 28, 4 из 1 [вычесть] нельзя, но (тут мы вбрасываем добавочный делитель) 4 из 72 будет 68».
§3. Степени 10
«Остаток-10» есть последняя цифра, «остаток-102» есть число, образованное двумя последними цифрами и так далее.
Эти остатки годятся в качестве начальных делимых для всех чисел, множители которых есть степени множителей 10, тот есть [степени чисел] 2 и 5. Так, «остаток-32» можно найти, взяв число, образованное последними пятью цифрами и разделив его на 32. Точно так же 80 есть 24 × 5; следовательно, «остаток-104» годится для того[, чтобы найти «остаток-80»].
§4. Множители делителей вида ht ± 1
«Остаток-21» годится в качестве начального делимого для 7 (множитель [числа 21] есть также множитель 9). Но этот остаток (из-за малой величины h, которая постоянно даёт вычитаемое, превосходящее уменьшаемое) находится с таким трудом, что лично я предпочитаю находить «остаток-7» обычным делением.
«Остаток-39» годится для 13, [остаток-] 51 — для 17, [остаток-] 69 — для 23.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
ДРУГИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
Мистер Эскью в письме №1274 от 30 мая спрашивает о доказательстве метода установления делимости числа на семь, которое, как он утверждает, открыто мистером Рикардом из Бирмингема. Оно, возможно, многими открыто; к примеру, моим отцом, который обучил меня ему лет тридцать назад. Проверочное число одинаково полезно для 7, 11 и 13. Метод, разработанный моим отцом, даёт, в случае делимости числа на все эти три величины, также ещё одну величину без дальнейшего труда; и в этом отношении он имеет преимущество перед методом мистера Рикарда.
Если некое число N разметить, начиная с правого конца, на периоды в три разряда, обозначив эти периоды через a, b, c и т. д., и если M будет разницей между суммами перемежающихся периодов, то получим, записывая r вместо 1000,
N = a + br + cr + dr + и т. д.
M = a – b + c – d + и т. д.
Тогда
N – M = b(r + 1) + c(r2 – 1) + d(r3 + 1) + и т. д.
и делимо на (r + 1); следовательно, если M делимо на (r + 1) или на какой-либо его множитель, то так же и N. И в этом случае r + 1 = 1001 = 7 × 11 × 13.
Правило моего отца состояло в том, чтобы поместить самый правый период под следующим и произвести вычитание, поместив остаток вновь под следующим периодом и так далее. В последнем периоде вычитание производится вверх ногами, если нижнее число окажется большим. В нашем примере, поскольку мы имеем 1, которая переносится в последний период, число 931 следует читать как 932. Конечный остаток, 924, есть наше проверочное число, и поскольку оно делимо на 7 и на 11, то исходное число также на них делится.
![Досуги математические и не только. Книга 2 - _001.jpg](https://goldenlib.ru/frontend/web/pic/2/6/3/3/6/5/263365/1442055668/_001.jpg)
Если случится так, что проверочное число окажется равным нулю, то вторая строка сделается частным от деления данного числа на 1001, то есть множителем, остающимся после сокращения на 7, на 11 и на 13. В самом деле, обозначим вторую строку через V; приписывая в конце три нуля, получаем 1000V; а мы знаем, что если вычесть её из верхней строки, то остатком будет V. Следовательно, N = 1001V = 7 × 11 × 13 × V. Если бы в вышеприведённом примере крайний левый разряд составлял 932 вместо 8, то проверочное число оказалось бы нулём.
Если такие периоды составить из единичных разрядов, то есть если r = 10, мы получаем критерий делимости на 11 и в то же самое время частное после сокращения на 11. Изложенное правило требует поместить последнюю цифру под соседней, вычесть, разность поместить под следующей и так далее. В нашем примере проверочное число равняется нулю; следовательно, данное число — это 11 × 5852053.
![Досуги математические и не только. Книга 2 - _002.jpg](https://goldenlib.ru/frontend/web/pic/2/6/3/3/6/5/263365/1442055668/_002.jpg)
С периодами по два разряда мы получаем критерий делимости на 101; то же для четырёх или более разрядов.
Ч. Л. Доджсон
К. Ч., Оксфорд
P. S. Сумма всех периодов даёт нам, для периодов из 1, 2, 3 и т. д., разрядов, критерий делимости на 9, 99, 999 (= 27 × 37) и т. д., или для любого множителя этих чисел. Для этого метода также можно выработать правило, аналогичное вышеизложенному; например, для критерия в отношении 999 размечаем на периоды по три, пишем 000 поверх крайнего правого периода и вычитаем, записывая разность поверх следующего и так далее. Следовательно, если так же случится, что проверочное число обратится в нуль, верхняя строка (за опусканием 000) станет частным от деления данного числа на 999.
Вероятно, похожие правила можно выработать для большинства простых чисел. Я сам разработал достаточно простые правила для 17 и 19, но подобные процедуры скорее любопытны, чем удобны.
Натолкнувшись на следующий способ вычисления в уме дня недели для любой заданной даты, шлю его Вам в надежде, что он заинтересует некоторых из Ваших читателей. Сам я считаю медленно; и поскольку, как я обнаружил, среднее время, затрачиваемое мной на решение всех таких задач, составляет двадцать секунд, то для тех, кто считает быстро, хватит, несомненно, и пятнадцати.
Берём заданную дату четырьмя частями, а именно: количество сотен, количество лет сверх, месяц, день.
Вычисляем следующие четыре величины, прибавляя каждую, по её нахождении, к общей сумме предыдущих величин. Если какая-то величина либо такой итог превышает 7, делим на 7 и сохраняем один лишь остаток.
Член «сотни». — Для старого стиля (который закончился 2 сентября 1752 года), вычитаем из 18. Для нового стиля (который начался 14 сентября [того же года] [12]) делим на 4, избыток отнимаем у 3, оставшееся умножаем на 2.
Член «годы». — Складываем вместе количество дюжин, избыток и количество четвёрок в избытке.