Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Справочная литература » Энциклопедии » Большая Советская Энциклопедия (ШТ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" (читаем книги бесплатно TXT) 📗

Большая Советская Энциклопедия (ШТ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" (читаем книги бесплатно TXT) 📗

Тут можно читать бесплатно Большая Советская Энциклопедия (ШТ) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" (читаем книги бесплатно TXT) 📗. Жанр: Энциклопедии. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

Штурм Иоганн Кристофер

Штурм (Sturm) Иоганн Кристофер (3.11.1635, Хиппольштейн, Бавария, — 25.12.1703, Альтдорф), немецкий математик, астроном и физик. Профессор математики и физики Альтдорфского университета (с 1669). Издал (1670) на немецком языке труды Архимеда с подробными комментариями, написал учебники математики. Занимался наблюдением комет.

«Штурм унд Дранг»

«Штурм унд Дранг» («Sturm und Drang»), литературное движение в Германии конца 19 в. См. «Буря и натиск» .

Штурма правило

Шту'рма пра'вило, правило, позволяющее находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами. Дано в 1829 Ж. Ш. Ф. Штурмом . Для любого многочлена f (x ) без кратных корней существует система многочленов f (x ) = f o (x ), f 1 (x ),..., f s (x ), для которой выполняются следующие условия:

  1) fk (x ) и fk+1 (x ), k= 0, 1,..., s— 1 не имеют общих корней,

  2) многочлен fs (x ) не имеет действительных корней,

  3) из fk (a)= 0, 1£ k £ s — 1, следует, что fk-1 (a)fk+1 (a ) < 0, 4) из f (a) = 0 следует, что произведение f (x )f 1 (x ) возрастает в точке a.

  Пусть w(c ) число перемен знаков в системе f (c ), f 1 (c ),.. . ,fs (c ). Тогда, если действительные числа а и b (а < b ) не являются корнями многочлена f (x ), то разность w(a ) w(b ) неотрицательна и равна числу действительных корней многочлена f (x ), заключённых между а и b. Т. о., числовую прямую можно разбить на интервалы, в каждом из которых содержится один действительный корень многочлена f (x ).

Штурма-Лиувилля задача

Шту'рма — Лиуви'лля зада'ча, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения

  -[p (x ) y' ]' + q (x ) y = ly , (1)

  удовлетворяющих граничным условиям вида

  A1 y (a ) + B1 y' (a ) 0, А2 у (b ) + B2 y' (b ) = 0

  (т. н. собственных функций ), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р (х ), q (x ) Ш.—Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида

  -y" + q (x ) y = ly. (2)

  Была впервые (1837—41) исследована Ж. Лиувиллем и Ж. Ш. Ф. Штурмом .

  Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.— Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.— Л. з. для уравнения —у" = lу с граничными условиями y (0) = y (p) = 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 12 , 22 ,..., n 2 ,... , которым соответствуют собственные функции sinnx , образующие на отрезке [0, p] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций ). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q (x ) в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a , b ], a A 1 , B 1 , A 2 , B 2 действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений l1 ,... , lп ,... , стремящаяся к бесконечности, причём каждому из lп соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция jп (х ), имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции jп (х ) образуют на [а , b ] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р (х )]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе jп (х ) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.¾ Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения —у" = lу при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.— Л. з.

  Иногда Ш.— Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:

  ai y (а ) + bi y' (а ) + gi y (b ) + di y' (b ) = 0, i = 1, 2,

  где ai , bi , gi , di — постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у (а ) = у (b ), y' (a )=y' (b ) (периодические условия) и у (а )= —у (b ), у' (а ) = —y' (b ) (полупериодические условия).

  Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.— Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A 1 y (0)+B 1 y' (0) = 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций j(х , l), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра l. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида

 

Большая Советская Энциклопедия (ШТ) - i-images-133316820.png
,

  где r(l) некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу . При этом

Большая Советская Энциклопедия (ШТ) - i-images-135221293.png
 

  и

Большая Советская Энциклопедия (ШТ) - i-images-164856598.png
.

  Аналогичные факты имеют место и для Ш.— Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.—Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции r(l). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном , а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.

Перейти на страницу:

Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" читать все книги автора по порядку

Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Большая Советская Энциклопедия (ШТ) отзывы

Отзывы читателей о книге Большая Советская Энциклопедия (ШТ), автор: Большая Советская Энциклопедия "БСЭ". Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*