»Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1» - Автор неизвестен (бесплатные книги полный формат .txt) 📗

Економіст в умовах ринкової економіки повинен бути в першу чергу аналітиком, тобто в повній мірі володіти методами аналізу, моделювання та синтезу. Така якість людини розвивається, тренується. Підтвердженням цієї тези є такий науковий факт, наведений відомим українським нейрофізіологом академіком Олегом Кришталем: “Той, хто навчався у вищому навчальному закладі, вже тільки тому має у своїх лобних ділянках на 17% більше зв’язків між нейронами, ніж той, хто не мучив себе науками”. Відмітимо, що характер цитованого твердження є “детерміністським” і вимагає додаткового імовірносного аналізу.

Одним з найпотужніших засобів підвищення рівня інтелекту майбутнього економіста є вивчення математичних дисциплін, серед яких особливе місце займає “Теорія імовірностей та математична статистика” (ТІМС). Разом з тим, глибоке засвоєння теоретичного матеріалу цієї дисципліни, пов’язане із виробленням навичок практичного оперування інформацією, є базою при вивченні цілого ряду економічних дисциплін, значна частина з яких почала викладатися в економічних ВНЗ в останнє десятиліття.

Багаторічний досвід викладання ТІМС авторів показує, що основним джерелом труднощів для студентів при вивченні цієї дисципліни і особливо при виконанні індивідуальних розрахункових робіт є слабкі навики аналізу різних ситуацій та їх найпростішого моделювання. В зв’язку із цим актуальними питаннями є алгоритмізація розв’язування задач, а також генерування ідей (в процесі розв’язування задач), які стають ключовими при доведенні більш складних тверджень. У повідомленні висвітлюються деякі із положень, реалізованих в навчальних посібниках авторів [1, 2].

Зокрема в розділі “Теорія імовірностей” викладаються [1] наступні положення.

В темі класичне означення імовірності на прикладах різнопланових конкретних задач рекомендується така послідовність аналізу умови: 1) формулювання випадкової події, імовірність якої потрібно знайти; 2) формулювання випробування; 3) розгляд прикладів наслідків випробування з тим, щоб з’ясувати, яким чином можна знайти n(загальне число наслідків випробування) і m(число наслідків випробування, в яких відбувається подія, імовірність якої треба знайти).

Правильність вибору однієї із формул (основної формули комбінаторики, числа комбінацій, числа розміщень) часто наштовхується на неврахування студентом особливостей груп елементів, для яких ці формули мають місце. Зокрема, для комбінацій та розміщень всі елементи групи повинні бути різними (відсутність повторів), для розміщень суттєвий порядок розташування елементів у групі.

При розв’язуванні конкретної задачі з використанням теорем додавання та множення імовірностей, особливо при виконанні проміжних чи підсумкових робіт, актуальним для студента є питання про вибір тієї або іншої теореми або формули. На наш погляд, корисною є така схема.

1) Вводяться в розгляд подія, імовірність якої треба знайти, а також більш простіші події, імовірності яких відомі або можуть бути знайдені за класичним означенням.

2) “Шукана” випадкова подія (імовірність якої потрібно знайти) виражається через простіші події за допомогою алгебри подій, тобто операцій суми, добутку, заперечення (протилежної події). При цьому потрібно користуватися мнемонічними правилами: «+» ? або, «?» ? і.

3) В залежності від виду отриманого виразу використовуються теореми додавання імовірностей або (і) теорема множення імовірностей та їх наслідки. При реалізації цього пункту необхідно з’ясувати властивості випадкових подій (сумісність, несумісність, залежність, незалежність, протилежність або повноту пари чи групи подій).

При цьому звертається увага на те, що в багатьох задачах реалізація п. 2) неєдина. В таких випадках бажано вибрати найкомпактнішу, переконавшись у співпаданні остаточних результатів після виконання пункту 3). Якщо ж результати не співпадають, то необхідно перевірити правильність побудови в п. 2) або коректність виконання п. 3). Ще один суттєвий момент стосовно вказаної теми – це спроба знайти шукану імовірність за класичним означенням. Позитивний результат дозволить перевірити відповідь і обрати кращий шлях, а негативний – збільшить цінність (в очах студента) теорем додавання та множення імовірностей.

Незважаючи на те, що формули повної імовірностей та Байєса є наслідками теорем додавання та множення імовірностей, на нашу думку доцільним є виокремити алгоритм розв’язування задач з допомогою цих формул. При цьому рекомендується така послідовність розв’язування задач.

1) Формулюються гіпотези В ₁,  В ₂, …,  В _n і подія  А. При цьому слід перевірити повноту групи гіпотез, а також те, що подія  Аможе відбутися тільки після появи однієї із гіпотез.

2) Знаходяться імовірності гіпотез. Правильність розрахунків контролюється виконанням рівності . Обчислюються або з умови задачі вибираються умовні імовірності …,

3) Вибирається формула повної імовірності або формули Байєса. Останні використовуються тоді, коли є інформація про відбуття випадкової події.

Наведений вище алгоритм буде корисним тоді, коли студент (при виконанні індивідуальних завдань чи на підсумковому контролі) при аналізі задачі зробив висновок, що для розв’язування цієї задачі потрібно використати або формулу повної імовірності, або формули Байєса. Поштовхом для такого висновку повинна бути наявність в задачі припущень.

В темі “Повторні незалежні випробування (схема Бернуллі)”, як і для попередніх тем, залишається актуальним питання вибору тієї чи іншої формули при розв’язуванні конкретних задач. Це зумовлено, по-перше, тим, що у всіх трьох формулах (Бернуллі, локальній формулі Лапласа та Пуассона) ліві частини однакові. З другого боку, при знаходженні імовірності P _n ( m ₁ ?m?m ₂) зовсім не обов’язково (а деколи й помилково) використовувати інтегральну формулу Лапласа. В зв’язку із цим рекомендується дотримуватися такого алгоритму.

1) Формулюються зміст випадкової події  Аі випробування. За умовою задачі визначаються n– число випробувань і m– число появи події  А. Аналітично записується шукана імовірність з допомогою отриманих значень. Обчислюються імовірності рта qпояви та непояви події  Ав одному випробуванні.

2) Обчислення P _n ( m)

а) Якщо nмале ( n?15) то використовується формула Бернуллі для будь-яких значень рта q.

б) Якщо nвелике, а рта qнемалі, тобто при виконанні нерівності npq>9 тоді використовується локальна формула Лапласа.

в) Якщо nвелике, а рдуже мале (значно менше 0,1) і ?=np?9 то застосовується формула Пуассона. При великому n, дуже малому q( q << 0,1) і при виконанні нерівності ?'=np?9 слід перейти до числа невиконання події  А.

3) Знаходження P _n ( m ₁ ?m?m ₂)

а) Якщо nмале тоді потрібно використати спочатку теорему додавання імовірностей, а потім формулу Бернуллі.

б) Для великих nі немалих рта q, тобто при виконанні нерівності npq>9 використовується інтегральна формула Лапласа.

в) Для великих nі малих рвикористовується або теорема додавання імовірностей з наступним застосуванням формули Пуассона, або здійснюється перехід до протилежної події з наступним використанням теореми додавання імовірностей і формули Пуассона. При виборі однієї із альтернатив слід користуватися мінімізацією числа доданків в теоремі додавання імовірностей. Якщо nвелике, а qмале і ?'=nq?9, тоді потрібно перейти до числа невиконання події  А, а потім виконати рекомендації цього підпункту.

На нашу думку, доцільно запропонувати кращим студентам створити програму для персональних комп’ютерів, ідея якої полягає в поступовому домноженні співмножників на рта q.