Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Прочая научная литература » Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей

Тут можно читать бесплатно Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей. Жанр: Прочая научная литература. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

Каждое из этих 13 слагаемых состоит из четырех членов: главный член, вторичный член (куда и входят нули дзета-функции), член с ln 2 и интегральный член. Если сложить все эти 52 куска, получится ?(1000 000) — число, про которое мы заранее знаем из главы 3.iii, что оно равно 78 498.

Вся эта арифметика расписана в таблице 21.1 (там опущены строки с N, для которых J(N) равно нулю). Двигаясь вдоль строки N и используя y для обозначения N-го корня из одного миллиона, имеем главный член

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_173.png
, вторичный член
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_174.png
, член с ln 2, равный
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_175.png
, и интегральный член
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_176.png
. Суммы по строкам должны быть равны — и в самом деле равны — выражению (?(N)/N)J(y).

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_177.png

Таблица 21.1. Вычисление ?(1000 000).

В качестве простой проверки возьмем строку с N = 6. Поскольку миллион — это 106, корень шестой степени из миллиона — это просто 10. Значение J(10) легко посчитать — оно оказывается равным 16/3. Поскольку число 10 свободно от квадратов и представляет собой произведение двух простых чисел, функция Мебиуса ?(10) имеет значение +1. Итак, в строке с N = 6 последний столбец должен быть равен (+1)?(1/6)?(16/3). Это составляет 8/9, что и говорится в суммарной колонке для строки с N = 6.

При N = 1 главный член, равен просто Li(1000 000); именно такое приближение к точному ответу дает нам ТРПЧ. Какова же разница между этим приближением и ?(1000 000)? Ответ получается мгновенно путем простого вычитания: разность, вычисленная как ?(1000 000) минус Li(1000 000) (чтобы сохранить знаки в нашей таблице), равна ?129,54916. Из чего эта разница слагается?

Вот из чего:

из главных членов ?100,20254
из вторичных членов ?29,37378
из членов с ln 2 0,03515
из интегральных членов ?0,00799

Наибольший вклад в разницу дают главные члены. Однако эти члены вполне предсказуемы — они убывают быстро и неуклонно.

Разница, возникающая из вторичных членов, имеет тот же порядок величины, однако составляющие ее компоненты — те самые вторичные члены — вызывают куда больше беспокойства. Первый вторичный член достаточно велик и отрицателен; правда, нет никаких очевидных причин, почему он должен оказаться именно таким. Но и другие не очень помогают. Если просто двигаться вниз вдоль колонки с вторичными членами, не обращая внимания на знаки минус, а следя только за тем, будет ли каждый следующий член больше или меньше предыдущего по величине, то мы увидим такое: меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, больше. Вторичный член при N = 19 оказывается почти таким же, как и при N = 6. Все эти вторичные члены — члены, которые выражаются через нули дзета-функции, — джокеры в нашем вычислении. А члены с ln 2, как и было обещано, несущественны.

Вспомним о статье Литлвуда 1914 года (см. главу 14.vii), где он доказал, что неверно утверждение, что Li(x) всегда превосходит ?(x). Это означает, что разность рано или поздно станет положительной. Поскольку главные члены очень быстро убывают по величине, а функция Мебиуса делает несколько первых из них отрицательными, включая и по-настоящему большие (при N = 2, N = 3 и N = 5), нелегко представить себе, как же эти главные члены вообще могут внести в разность какой-нибудь иной вклад, кроме как большое отрицательное число. Если в итоге разность должна оказаться положительной (а Литлвуд доказал, что такое рано или поздно случится), то это отрицательное число должно поглотиться большими, положительными, вторичными членами. Чтобы такое произошло, вторичные члены — нули дзета-функции — должны серьезным образом выйти из-под контроля. Судя по всему, так они и делают.

IX.

Чтобы еще глубже разобраться в смысле остаточного члена, снова взглянем на двойную спираль в правой части рисунка 21.4. Она представляет нам функцию Li(xкритическая прямая) при x = 20. Критическая прямая — испещренная, если ГР верна, всеми нетривиальными нулями дзета-функции — отображается под действием функции Li(20z) в спираль. Что будет, если вместо 20 мы возьмем какое-нибудь большее значение х? Какой вид примут соответствующие спирали?

Общее представление о том, что при этом происходит, дается на рисунке 21.7. Там представлены три функции: Li(10крит. прямая), Li(100крит. прямая) и Li(1000крит. прямая). Во всех трех случаях показано, как отображается один и тот же отрезок критической прямой — отрезок от 1/2 ? 5i до 1/2 + 5i.

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_178.png

Рисунок 21.7. Li(xкритическая прямая) при x = 10, 100 и 1000. Отображаемая часть критической прямой представляет собой отрезок от 1/2 ? 5i до 1/2 + 5i.

Как видно, при увеличении x от 10 до 100 и далее до 1000 происходят следующие явления.

• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам ??i и ?i.

• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек ??i и ?i.

• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении x между 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).

Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при 1/2 ± 14,134725i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек ??i и ?i, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек ??i и ?i независимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста x нули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда ? равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при 1/2 + 14,134725i), а аргумент x достигает скромного триллиона, функция Li(x?) добирается до вещественных частей, превышающих 2200.

В главе 14.vii упоминался недавний результат, полученный Бейсом и Хадсоном, — первое литлвудово нарушение (когда ?(x) впервые оказывается больше чем Li(x)) происходит до, а весьма вероятно, что и при x = 1,39822?10316. Представим себе, что нам надо повторить весь процесс, с помощью которого мы вычислили ?(1000 000), но для указанного числа (назовем его числом Бейса-Хадсона) вместо 1000 000. Какая арифметика была бы тут задействована?

Ясно, что пришлось бы взять не 13, а большее число значений функции J. Корень 1050-й степени из числа Бейса-Хадсона равен 2,0028106…, а корень 1051-й степени равен 1,99896202…, так что надо будет взять корни первой, второй, …, 1050-й степени из этого числа и вычислить функцию J при всех этих аргументах. Это не так уж страшно, потому что многие числа между 1 и 1050 делятся на точные квадраты, а потому функция Мебиуса для них равна нулю. Сколь многие? На самом деле таких чисел 411, так что остается посчитать 639 значений функции J. [201]

вернуться
вернуться

201

Заметим, что 639:1050 = 0,6085714…. Для больших чисел N вероятность того, что N свободно от квадратов, равна ~ 6/?2, т.е. 0,60792710…. Вспоминая из главы 5 найденное Эйлером решение базельской задачи, можно заметить, что эта вероятность равна 1/?(2). Это верно и в общем случае. Вероятность того, что положительное целое число N, выбранное случайным образом, не делится на п-ю степень никакого целого числа, равна ~ 1/?(n). Например, среди всех чисел, не превышающих 1000 000, в действительности 982 954 не делятся ни на какую шестую степень; при этом 1/?(6) равняется 0,98295259226458….

Перейти на страницу:

Семихатов Алексей читать все книги автора по порядку

Семихатов Алексей - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. отзывы

Отзывы читателей о книге Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике., автор: Семихатов Алексей. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*