Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Прочая научная литература » Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей

Тут можно читать бесплатно Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей. Жанр: Прочая научная литература. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

Вводя ? большое, я начал с истории, так что сейчас, прощаясь с ним, расскажу еще одну. Суть ее в том, что математики, как и другие специалисты, иногда любят напустить туману, чтобы отпугнуть и смутить профанов.

На конференции в Курантовском институте летом 2002 года (см. главу 22) я разговаривал по поводу своей книги с Питером Сарнаком. Питер — профессор математики в Принстонском университете и специалист по теории чисел. Я упомянул, что пытаюсь придумать, как объяснить ? большое тем читателям, кто с ним незнаком. «О, — сказал Питер, — вам надо бы поговорить с моим коллегой Ником (т.е. Николасом Кацем — он тоже профессор в Принстоне, но занимается в основном алгебраической геометрией). Ник ненавидит ? большое. Никогда его не использует». Я это проглотил, но взял на заметку, рассчитывая, что смогу придумать, как это использовать в книге. В тот же вечер мне случилось разговаривать с Эндрю Уайлсом, который очень хорошо знает и Сарнака, и Каца. Я упомянул нелюбовь Каца к ? большому. «Чепуха, — сказал Уайлс, — они просто над вами потешаются. Да Ник все время его использует». И будьте уверены, Кац использовал его в лекции на следующий же день. Своеобразное чувство юмора у математиков.

IV.

Оставим ? большое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.

Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2). Очевидно, если A = B и при этом ни A, ни B не равны нулю, то 1/A = 1/B. Получаем (15.1)

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_108.png

Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.

Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем a на (p + q), что дает ар + aq. Затем умножаем b на (p + q), что дает bp + bq. А потом, поскольку в скобках у нас a плюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v), то повторение этих действий дает apu +aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv. Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у) дает

apux + aqux + bpux + bqux + apvx + aqvx + bpvx + bqvx + apuy + aquy + bpuy + bquy + apvy + aqvy + bpvy + bqvy. (15.2)

Грандиозность того, что получается, начинает внушать некоторые опасения. А ведь нам предстоит перемножить бесконечное число скобок! Фокус состоит в том, чтобы посмотреть на это дело глазами математика. Из чего составлено выражение (15.2)? Ну, это сумма некоторого числа членов. Как эти члены выглядят? Выберем наугад какой-нибудь один из них, скажем aqvy. Сюда входит a из первой скобки, q из второй, v из третьей и y из четвертой. Это произведение, составленное из чисел, выбранных по одному из каждой скобки. И все выражение целиком получается в результате всех возможных комбинаций того, как мы выбираем эти числа из скобок.

Как только вы смогли это увидеть, перемножение бесконечного числа скобок больше не проблема. В ответе будет сумма — разумеется, бесконечная — членов, каждый из которых получен путем выбора одного числа из каждой скобки и перемножения всего, что выбрали. Если сложить результаты всех таких возможных выборов, то и получится ответ. Однако в том виде, как эта процедура описана, она все еще выглядит несколько устрашающей. Согласно сказанному, каждый член в нашей бесконечной сумме есть бесконечное произведение. Да, так оно и есть, но, поскольку каждая скобка в правой части выражения (15.1) содержит 1, наша жизнь делается приятнее за счет того, что мы будем выбирать бесконечное число единиц и лишь конечное число не-единиц. В конце концов, поскольку каждый не-единичный член в каждой скобке есть число между ?1/2 и 0, перемножение бесконечно большого числа таких членов дает результат, величина которого (я имею в виду — без учета знака) заведомо не больше, чем (1/2)?, а это равно нулю! Теперь смотрите, как я построю бесконечную сумму.

Первый член в бесконечной сумме: берем 1 из каждой скобки. Это даст бесконечное произведение 1?1?1?1?1?…, значение которого есть, конечно, просто 1.

Второй член: берем 1 из всех скобок, кроме первой. Из первой же возьмем

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_109.png
. Это даст бесконечное произведение
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_110.png
?1?1?1?1?…, которое равно просто
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_109.png
.

Третий член: берем 1 из каждой скобки, кроме второй. А из второй возьмем

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_111.png
. Это даст бесконечное произведение 1?
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_112.png
?1?1?1?…, что равно просто
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_111.png
.

Четвертый член… Я думаю, понятно, что, если брать 1 из каждой скобки, кроме n-й, мы получим слагаемое равное

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_113.png
, где p — n-е простое число. Итак, получилась бесконечная сумма вида (15.3):

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_114.png

Но это еще не конец. При перемножении скобок возникает сумма всех возможных членов, получаемых взятием одного числа из каждой скобки. Предположим, мы выбрали

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_109.png
из первой скобки,
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_111.png
из второй и 1 из всех остальных. Это дает
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_110.png
?
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_112.png
?1?1?1?…, что равно
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_115.png
. Похожие вещи мы получим из каждой возможной пары выборов не-единиц. Выбирая из третьей скобки
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_116.png
и
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_117.png
из шестой, а единицы из всех остальных, получаем член, равный
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_118.png
.

(Заметим, что здесь работают два простых правила арифметики. Одно — это правило знаков, гласящее, что минус умножить на минус дает плюс, а другое — 7-е правило действий со степенями, согласно которому (x?y)n = xn?yn.)

Так что наряду с членами, уже собранными в выражении (15.3), имеется новый набор, каждый член в котором происходит из каждой пары простых чисел, как 5 и 13, и которые все входят со знаком плюс. Таким образом, выражение (15.3) разрослось до такого:

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - i_119.png

где каждое число во второй строке есть произведение двух различных простых.

вернуться
вернуться
вернуться
вернуться
вернуться
Перейти на страницу:

Семихатов Алексей читать все книги автора по порядку

Семихатов Алексей - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. отзывы

Отзывы читателей о книге Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике., автор: Семихатов Алексей. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*