Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов - Поспелов Дмитрий Александрович
Нечеткая силлогистика
Силлогистика Аристотеля совсем недавно вновь стала объектом пристального внимания исследователей. Идеи нечетких рассуждений оказались перенесенными на модусы и фигуры, казавшиеся венцом достоверных рассуждений. Прежде чем изложить эти идеи, опишем одну историю, которую можно было бы назвать «Силлогизм бабушки».
«Жара уже спадала, когда Сумбурук и Твидл приехали в один маленький городок – кажется, где-то на юге Франции. Возле автостоянки был бар. Они оставили машину, договорились встретиться в баре вечером и разошлись кто куда. Сумбурук пошел бродить по незнакомым улицам, а Твидл сразу направился в бар: он всегда больше предпочитал сидеть, чем ходить.
К вечеру в бар, помахивая бамбуковой тросточкой, вошел Сумбурук. На голове у него был роскошный блестящий цилиндр.
– Вырядился, прямо как Макс Линдер. Только полосатых панталон не хватает, – сказал Твидл, когда Сумбурук приблизился к нему. – Красивая тросточка. И цилиндр, кстати, тебе идет.
– Хочешь, можешь тоже купить. Они продаются на каждом углу. А кто в цилиндре… – Сумбурук слегка, кончиками пальцев коснувшись цилиндра, сделал незаметный жест, и тросточка в другой его руке завертелась, как пропеллер. – Те, с тросточкой, я заметил, почти всегда, – закончил он и присел за стойку, собираясь заказать себе абсент. Но не успел он это сделать, как с удивлением обнаружил, что рюмка крепкого зеленоватого напитка уже стоит перед ним.
– Не удивляйся, – заметил Твидл. Он (Твидл кивнул на бармена) увидел, как ты вертел тросточкой, вот и все. Держу пари, здесь все, кто с тросточкой, пьют исключительно абсент. По крайней мере, за три часа, пока я здесь, он ни разу не ошибся. Да и то сказать, – Твидл еще раз оглядел Сумбурука, – с таким цилиндром и тросточкой можно разве в этом городе пить что-нибудь кроме абсента?
Сумбурук сделал глоток и на секунду задумался.
– Я, кажется, могу дать ему дельный совет, – сказал он и показал незаметно на бармена. Сумбурук щелкнул пальцами, и бармен поглядел на него.
– А тем, кто в цилиндре, вы тоже сразу наливаете абсент?
– Да, если в руках еще и тросточка, – ответил бармен.
– Но в этом городе все, кто в цилиндре, ходят с тросточкой, разве нет?
– Почти все, – поправил бармен. – Вам налить что-нибудь другое? И он с подозрением посмотрел на цилиндр Сумбурука
– Все в порядке, – успокоил его Сумбурук. Просто мой вам совет: тому, кто в цилиндре, с тросточкой он или без тросточки, можете, не спрашивая, тоже смело наливать абсент – не ошибетесь никогда.
– Не ошибусь? – переспросил бармен. – Никогда? Вы уверены?
– Ну, почти никогда. Еще Аристотель говорил, если почти все, кто носит цилиндр, ходят с тросточкой, и почти все, кто ходит с тросточкой, пьют только абсент, то почти все, кто носит цилиндр, тоже пьют только абсент. Согласны? – спросил Сумбурук. Он когда-то изучал логику и немного гордился этим [8].
– Вы не правы, – к удивлению друзей вежливо, но твердо возразил бармен. – Еще моя покойная бабушка, помню, любила повторять, если почти все, кто носит цилиндр, ходят с тросточкой, и вместе с тем почти все, кто ходит с тросточкой, пьют только абсент, то наверняка можно сказать только одно: из тех, кто носит цилиндр, многие пьют только абсент. Многие – да, согласен. А сказать «почти все» – это неверно.
Сумбурук никогда не был формалистом, – скорее, напротив. Но тут, немного задетый, он (с кем не бывает!) задал вопрос, который вряд ли пришел бы в голову Максу Линдеру:
– А что значит «многие»?
– Да-да, – поддержал его Твидл, – «многие» это что, больше 30 %, больше 50 % или, может, больше 90 %?
– Ну, 90 % это вряд ли, – сказал бармен, слегка ошарашенный таким обилием неизвестно откуда взявшихся цифр. – Во всяком случае «многие» это не то же самое, что «почти все». В нашем городе вкусы меняются медленно, и поверьте, я на собственном опыте знаю: моя бабушка была права.
– По всему выходит, что ваша бабушка умнее Аристотеля, – заметил Твидл.
Бармен пожал плечами.
– Я, простите, ничего не знаю о человеке по имени Аристотель. Он, наверное, грек, а я наполовину француз. Но могу сказать одно, – тут он взял бутылку абсента и налил нашим друзьям еще по рюмке, – моя бабушка была очень умная и добропорядочная женщина».
Постараемся разобраться в силлогизме бабушки. Введем ряд обозначений:
а – количество людей, которые ходят в цилиндре;
b – количество людей, которые ходят с тросточкой;
с – количество людей, которые пьют только абсент;
Р(b/а) – доля тех, кто ходит с тросточкой среди тех, кто носит цилиндр;
Р(c/b) – доля тех, кто пьет только абсент, среди тех, кто ходит с тросточкой;
Р(c/a) – доля тех, кто пьет только абсент, среди тех, кто ходит в цилиндре;
Р(а) – доля тех жителей города, которые ходят в цилиндре, от всех жителей города;
Р(b) – доля тех, кто ходит с тросточкой, от всех жителей города;
Р(c) – доля тех, кто пьет только абсент, от всех жителей города.
Получение всей этой информации требует некоторого статистического обследования жителей города и их привычек. Результаты такого обследования могут быть сведены в таблицу сопряженности (табл. 5).
Таблица 5
В этой таблице z3, например, доля жителей торода, которые ходят в цилиндре и с тросточкой, но не пьют абсента. Аналогичным образом интерпретируются и остальные ее элементы. Значения z1, удовлетворяют ряду соотношений.
1. z1+z2+z3+z4+z5+z6+z7+z8=1.
Это соотношение вытекает из нормировки, так как zi – доли.
2. Восемь ограничений вида zi?0, вытекающие из смысла zi, i=1,2,…,8.
3. Предположим, что в городе множества жителей, которые носят цилиндр, ходят с тросточкой и пьют только абсент, не являются пустыми. Это означает, что должны выполняться следующие неравенства:
Значение ? выбрано так, чтобы все эти три неравенства были справедливы.
4. Еще два неравенства связаны с тем, что величины Р(b/а) и Р(c/b), входящие в посылку силлогизма бабушки, должны удовлетворять ограничениям P(b/a)?? и P(c/b)??, где ? подобрано таким образом, чтобы оба неравенства выполнялись. Если условные частоты выразить через элементы таблицы сопряженности, то можно получить еще два неравенства:
В этих ограничениях два параметра: ? и ?. Варьируя их, можно вводить различные нечеткие квантификаторы в силлогизм типа силлогизма бабушки или силлогизма Сумбурука.
Дадим некоторые необходимые пояснения к приведенной системе. Посылки силлогизма бабушки, как его сформулировал бармен, звучат так: «Из тех, кто носит цилиндр, почти все ходят с тросточкой» И «Из тех, кто ходит с тросточкой, почти все пьют только абсент». Заглавная буква И отделяет один член посылки от другого. Первый член посылки говорит о том, что P(b/a) есть нечеткий квантификатор «почти все», а второй член посылки содержит аналогичное утверждение относительно P(c/b). Если считать, что нечеткому квантификатору «почти все» на лингвистической шкале соответствует некоторый отрезок, то он имеет вид [?,1], где ?>0. Именно в этом смысл двух последних неравенств. В силлогизме бабушки дается оценка нечеткого квантификатора, соответствующего Р(с/а). Бабушка считает, что Р(с/а) соответствует квантификатор «многие». Сумбурук же считает, что Р(с/а) соответствует квантификатор «почти все». Значит, бабушка предполагает, что Р(с/а) на лингвистической шкале соответствует полуинтервал [?,?] и ?>0, а Сумбурук уверен, что это отрезок [?,1]. В этом и состоит их несогласие.
8
Сумбурук учился логике давно. Он приписал Аристотелю то, что, как помнит читатель, Аристотель никогда не считал правильным умозаключением.
