Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика - Арбонес Хавьер (читать книги онлайн полностью без регистрации .txt) 📗
Первые такты мессы L'Homme arme super voces musicales («Вооруженный человек») Жоскена Депре, которая начинается с трехголосного канона. Ведущий голос самый медленный, второй исполнитель поет в два раза быстрее него, третий — в три раза быстрее. Линии соединяют первые четыре ноты произведения для каждого из трех голосов.
* * *
С математической точки зрения интерес представляет поиск метода, позволяющего составлять подобные последовательности. В нем должны учитываться следующие параметры:
— общее число артикуляций (а),
— число голосов (v),
— смещение голосов (d).
Чтобы эта задача имела решение, должны выполняться следующие условия:
— число артикуляций а должно делиться на число голосов и нацело;
— нужно «покрыть» а артикуляций с помощью v голосов. Так как все голоса эквивалентны, базовая структура должна состоять из a/v «единиц»;
— голоса смещаются относительно друг друга на величину, равную a/v. Это гарантирует, что ни в один момент времени не будут дублироваться единицы.
Приведем пример для четырех артикуляций (а = 4) и двух голосов (v = 2).
Смещение равно a/v = 4/2 = 2 артикуляциям. В нашем примере можно перебрать все возможные варианты. Несложно проверить, какие из них будут удовлетворять требуемым условиям. Возможные ритмические структуры таковы:
1100
1001
Так как эти последовательности будут циклически повторяться, нетрудно видеть, что нули и единицы в обоих случаях будут располагаться одинаково. В первом случае мелодия, исполняемая со смещением в две артикуляции, будет записываться так:
Во втором случае так:
Заметим, что по ходу канона его исполнение в обоих случаях одинаково. Теперь рассмотрим пример с 12 артикуляциями, разделенными на группы с одинаковым временем звучания. Если мы хотим «покрыть» плоскость этими 12 артикуляциями, исполняемыми в 3 голоса, то
то есть необходимы 3 группы по 4 артикуляции.
Возьмем за основу следующую структуру:
0000 0000 0000.
Расположим единицы так, чтобы при наложении на каждой позиции единица встречалась ровно один раз:
1000 0100 0011.
Чтобы избежать удвоенных ударов (несколько единиц в одном столбце) необходимо выполнить смещение на величину а/v, которая в нашем случае равняется 4.
* * *
ЗАМОЩЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
Замощение — это равномерное расположение фигур, покрывающих плоскость. В качестве простого примера можно привести тротуарную плитку или кафель в ванной. При замощении должны отсутствовать пробелы и наложения фигур. Квадрат и правильный шестиугольник — примеры простейших геометрических фигур, покрывающих плоскость. Однако при замощении могут использоваться и неправильные фигуры. В пример можно привести улицы Каира. Схема их замощения представлена на рисунке, справа внизу — соответствующее трехмерное изображение.
* * *
Акцент и размер такта
В музыкальных композициях сильные доли чередуются со слабыми. В нотной записи сильные ноты формируют структуру композиции: с каждой сильной доли начинается такт, который длится до следующей сильной доли. Таким образом, такт — это совокупность нот и пауз между соседними сильными долями. Такты равномерного музыкального произведения имеют одинаковую длину и те же свойства. Благодаря этой равномерности достаточно определить параметры такта один раз в начале композиции.
Виды тактов
Доли такта могут делиться на две или три части. Такт обозначается дробью, которая может быть правильной (для простых тактов) и неправильной (для сложных). В числителе дроби отмечается количество долей, в знаменателе — число, означающее длительность долей. Например, целой ноте соответствует единица, половинной — 2, четвертной — 4 и так далее. В простом такте знаменатель указывает относительную длительность ноты такта. В сложном такте знаменатель обозначает используемое ритмическое деление. Чаще всего применяются четвертная нота (она равна восьмой ноте и восьмой паузе; здесь используется ритмическое деление на две части) и четвертная нота с точкой (она равна восьмой ноте и двум паузам подряд; здесь мы видим ритмическое деление на три части).
Рассмотрим несколько примеров. Простой такт из двух долей длительностью в четвертную ноту,
Число 2 обозначает количество долей, число 4 указывает, что доля имеет длительность в четвертную ноту. Сложный двухдольный такт будет образован двумя долями длительностью в четвертную ноту с точкой:
Возникает проблема: четвертной ноте с точкой не соответствует ни одно число (ни какая-то другая нота с точкой), поэтому длительность этого такта нельзя выразить в знаменателе дроби. Эта проблема решается так: указывается не длительность такта, а число, соответствующее ритмическому делению доли. В нашем примере четвертная нота с точкой ритмически делится на восьмую ноту и две восьмые паузы. Такт состоит из двух четвертных нот с точкой, следовательно, он будет состоять в сумме из шести восьмых нот и пауз и обозначаться дробью 6/8.
Нотация, которую мы использовали для обозначения чистого ритма, позволяет четко увидеть чередование нот и пауз (единиц и нулей):
При трехдольном ритмическом делении единицы чередуются с двумя нолями:
Наиболее часто используемые такты и соответствующее число долей приведены в таблице:
* * *
ВСЕ ТАКТЫ МИРА
Как вы уже увидели, такт — это совокупность нот и пауз, имеющая определенную длительность. Не принимая во внимание музыкальное значение такта, интересно проанализировать все возможные способы, которыми можно образовать такт из различных ритмических групп.
Рассмотрим небольшую комбинаторную задачу, которая может быть интересна тем, кто занимается музыкой. В этой задаче происходит полный перебор всех возможных ритмических групп и пауз.
Начнем с такта размером 4/4 и расположим на нем четыре ритмические группы, эквивалентные четвертной ноте. Обозначим их А, В, С и D.
Составим из них первый такт:
4/4 |А В С D|
Далее найдем все возможные перестановки.
Шаг 1. Выберем последний элемент такта (в нашем случае это D), который станет основой для первой группы перестановок. Далее поместим D между В и С:
4/4 |А В D С|.
Шаг 2. Расположим этот же элемент D на втором месте, сместив В вправо. Запишем полученный такт:
4/4 |А О В С|.
Шаг 3. Наконец, поместим D на первое место и тем самым сформируем первую группу перестановок:
4/4 |D А В С|.
Далее сформируем все возможные перестановки для полученного такта. Последовательность действий будет аналогичной: выберем элемент, расположенный на четвертом месте (теперь это С), и будем смещать его справа налево, повторяя шаги 1–3:
4/4 |D A B C|D A C B|D C A B|C D A B|.
Повторив эти же действия для В и для А, мы вернемся к исходному такту:
4/4 |C D A B|C D B A|C B D A|B C D A|
4/4 |B C D A|B C A D|B A C D|A B C D|.
С помощью этого алгоритма мы получили все возможные последовательности ритмических групп в заданном такте.
