Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Математика » Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - Елисеев Дмитрий Сергеевич (книги полные версии бесплатно без регистрации .TXT) 📗

Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - Елисеев Дмитрий Сергеевич (книги полные версии бесплатно без регистрации .TXT) 📗

Тут можно читать бесплатно Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - Елисеев Дмитрий Сергеевич (книги полные версии бесплатно без регистрации .TXT) 📗. Жанр: Математика / Программирование. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:
Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - img_17.jpeg

Это несложно доказать, т. к. сумма всех чисел квадрата равна сумме ряда 1..N2. Действительно, для квадрата Дюрера M(4) = 34, что можно посчитать на картине. Для квадратов разной размерности суммы равны соответственно: M(3) = 15, M(4) = 34, M(5) = 65, M(6) = 111, M(7) = 175, M(8) = 260, M(9) = 369, M(10) = 505.

Напишем программу для построения магических квадратов размерности N. Первый подход будет «в лоб», напрямую. Создадим массив, содержащий все числа от 1 до N2 и получим все возможные перестановки этого массива. Их число довольно-таки велико, и составляет 1 * 2 * .. * N = N! вариантов. Также для каждого массива необходимо проверить, является ли он «магическим», т. е. выполняется ли требование равенства сумм.

Для получения всех перестановок воспользуемся алгоритмом, описанным здесь — https://prog-cpp.ru/permutation/.

Код программы приведен ниже:

def swap(arr, i, j):

    arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]

def next_set(arr, n):

    j = n - 2

    while j != -1 and arr[j] >= arr[j + 1]: j -= 1

    if j == -1:

        return False

    k = n - 1

    while arr[j] >= arr[k]: k -= 1

    swap(arr, j, k)

    l = j + 1

    r = n – 1

    while l < r:

        swap(arr, l, r)

        l += 1

        r -= 1

    return True

def is_magic(arr, n):

    for i in range(0, n):

        sum1 = 0

        sum2 = 0

        sum3 = 0

        sum4 = 0

    for j in range(0, n):

        sum1 += arr[i * n + j]

        sum2 += arr[j * n + i]

        sum3 += arr[j * n + j]

        sum4 += arr[(n – j - 1) * n + j]

    if sum1 != sum2 or sum1 != sum3 or sum1 != sum4 or sum2 != sum3 or sum2 != sum4 or sum3 != sum4:

        return False

return True

def show_squares(n):

    N = n * n

    arr = [i + 1 for i in range(N)]

    cnt = 0

    while next_set(arr, N):

        if is_magic(arr, n):

            print(arr)

            cnt += 1

    return cnt

# Требуемая размерность

cnt = show_squares(3)

print("Число вариантов:", cnt)

Программа выдала 8 вариантов для N = 3, время вычисления составило 2 секунды:

[2, 7, 6, 9, 5, 1, 4, 3, 8] [6, 1, 8, 7, 5, 3, 2, 9, 4]
[2, 9, 4, 7, 5, 3, 6, 1, 8] [6, 7, 2, 1, 5, 9, 8, 3, 4]
[4, 3, 8, 9, 5, 1, 2, 7, 6] [8, 1, 6, 3, 5, 7, 4, 9, 2]
[4, 9, 2, 3, 5, 7, 8, 1, 6] [8, 3, 4, 1, 5, 9, 6, 7, 2]

Действительно, как известно, существует только 1 магический квадрат 3x3:

Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - img_18.jpeg

Остальные являются лишь его поворотами или отражениями (очевидно что при повороте квадрата его свойства не изменятся).

Теперь попробуем вывести квадраты 4х4. Запускаем программу… и ничего не видим. Как было сказано выше, число вариантов перебора для 16 цифр равняется 16! или 20922789888000 вариантов. На моем компьютере полный перебор такого количества занял бы 1089 дней!

Однако посмотрим на магический квадрат еще раз:

Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - img_19.jpeg

Суммы всех элементов по горизонтали и вертикали равны. Из этого мы легко можем записать равенство его членов:

x11 + x12 + x13 + x14 = x21 + x22 + x23 + x24 x11 + x12 + x13 + x14 = x14 + x24 + x34 + x44 x11 + x12 + x13 + x14 = x13 + x23 + x33 + x43 x11 + x12 + x13 + x14 = x12 + x22 + x32 + x42 x11 + x12 + x13 + x14 = x11 + x21 + x33 + x44 x11 + x12 + x13 + x14 = x31 + x32 + x33 + x34

И наконец, общая сумма: т. к. квадрат заполнен числами 1..16, то если сложить все 4 строки квадрата, то получаем 4S = 1 + .. + 16 = 136, т. е. S = 34 (что соответствует приведенной в начале главы формуле).

Это значит, что мы легко можем выразить последние элементы через предыдущие:

x14 = S - x11 - x12 - x13

x24 = S - x21 - x22 - x23

x34 = S - x31 - x32 - x33

x41 = S - x11 - x21 - x31

x42 = S - x12 - x22 - x32

x43 = S - x13 - x23 - x33

x44 = S + x14 - x14 - x24 - x34

Что это дает? Очень многое. Вместо перебора 16 вариантов суммарным количеством 16! = 20922789888000 мы должны перебрать лишь 9 вариантов, что дает 9! = 362880 вариантов, т. е. в 57657600 раз меньше! Как нетрудно догадаться, мы фактически выразили крайние строки квадрата через соседние, т. е. уменьшили размерность поиска с 4х4 до 3х3. Это же правило будет действовать и для квадратов большей диагонали.

Обновленная программа выглядит более громоздко (в ней также добавлены проверки на ненулевые значения и проверки на уникальность элементов), зато расчет происходит в разы быстрее. Здесь также используется возможность работы со множествами в языке Python, что легко позволяет делать перебор нужных цифр в цикле:

set(range(1, 16 + 1)) - множество чисел [1..16]

set(range(1, 16 + 1)) - set([x11]) - множество чисел [1..16] за исключением x11.

Также добавлена простая проверка на минимальность суммы: очевидно, что сумма всех элементов не может быть меньше чем 16 + 1 + 2 + 3 = 22.

Перейти на страницу:

Елисеев Дмитрий Сергеевич читать все книги автора по порядку

Елисеев Дмитрий Сергеевич - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Рассказы о математике с примерами на языках Python и C отзывы

Отзывы читателей о книге Рассказы о математике с примерами на языках Python и C, автор: Елисеев Дмитрий Сергеевич. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*