У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. - Коллектив авторов (читать книги онлайн бесплатно полностью без сокращений txt) 📗
Основой математики должны быть натуральные числа и операции с ними — сложение и умножение. Эти числа не нуждаются в определении, поскольку понятие о них априори заложено в нашем сознании. Числа должны пониматься не как законченная бесконечная совокупность, а как результат непрерывного процесса (упомянутый ранее пример с народом), который начинался с числа 1 и продолжался неопределенное время за счет применения понятия последующего элемента (1 — первый элемент, 2 — элемент, следующий за 1, 3 — элемент, следующий за 2, и так далее).
Для утверждения о том, что существует математический объект, отличный от натуральных чисел, необходимо, чтобы его можно было построить за конечное число шагов на основе натуральных чисел с помощью строго определенной процедуры. Объекта, который невозможно построить таким образом, просто не существует. В некотором смысле интуиционисты возвращались к идее, содержащейся в сентенции Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека».
Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр родился в Роттердаме, Голландия, 27 февраля 1881 года, за два года до публикации статьи Кантора, в которой впервые была введена в математику актуальная бесконечность. В1904 году, сразу после окончания университета, Брауэр доказал несколько оригинальных результатов о непрерывном движении в четырех измерениях, которые были опубликованы Амстердамской королевской академией наук. В его докторской диссертации, опубликованной в 1907 году, речь шла о проблеме оснований математики. В этой работе он ввел первые понятия об интуиционизме. Также ученый внес значительный вклад в топологию, где доказал знаменитую теорему о неподвижной точке, носящую его имя. Что любопытно, доказательство этой теоремы не выполняет интуиционистских стандартов. В1935 году Брауэр занялся политикой и практически отдалился от математических исследований, хотя в том же году основал журнал Compositio Mathematica и продолжал деятельность в качестве его издателя. Брауэр скончался 2 декабря 1966 года в Бларикюме (Голландия) в результате автокатастрофы.
С другой стороны, согласно интуиционистам, для того чтобы определение свойства было справедливым, должна существовать механическая процедура (которую можно реализовать на компьютере, поскольку алгоритм — это не что иное, как последовательность действий), и с ее помощью можно проверить, выполняется ли свойство. Например, свойство «быть простым числом» для интуиционистов справедливо, поскольку его всегда можно проверить за конечное количество шагов. Чтобы узнать, является ли число 17677 простым, достаточно разделить его на все числа, меньшие его. Если во всех случаях деления есть остаток, то число простое. Процедура, которую мы описали, не самая лучшая (есть более быстрые методы), но она всегда дает правильный ответ за конечное количество шагов.
Чтобы рассмотреть пример свойства, не принимаемого интуиционистами, определим число р, используя знаки числа π = 3,14159265... (которое, как мы знаем, является иррациональным, то есть имеет бесконечное непериодическое количество знаков после запятой). Число р определяется следующим образом: если среди знаков числа π появится хотя бы одна последовательность ровно из 15 нулей подряд, то р — это цифра (отличная от нуля), следующая после первого появления этих нулей. Если никогда не появятся 15 нулей подряд, то р равно 0. Отметим, что среди знаков числа π, вычисленных на сегодняшний день, последовательность из 15 нулей еще не появилась.
Существует ли число р? Чему оно равно? В 1900 году Гильберт написал, что если мы определим математический объект и это определение не противоречит само себе, то мы можем утверждать, что объект существует.
Почти любой современный математик ответит, что р существует. Более того, все они согласятся, что хотя мы не знаем точно, чему оно равно, можно утверждать: это число от 0 до 9. Именно в тот момент, когда мы узнаем, появится или не появится эта последовательность из 15 нулей в числе π, мы узнаем точное значение р. Однако для интуиционистской философии р не существует, поскольку оно определено на основе свойства, которое невозможно проверить за конечное количество шагов, так как у числа π бесконечное количество знаков после запятой, и для проверки требуется просмотреть их все. Если бы среди знаков числа π, вычисленных до сих пор, появилось 15 нулей подряд, то р существовало бы и мы знали бы его точное значение. Более того, если в будущем эти 15 нулей кто-то найдет, в тот же момент р начнет существовать.
Сегодня р не существует, но, возможно, оно появится в будущем. То же самое мы могли бы сказать о еще не написанном романе любого современного писателя. В этом сравнении нет ничего странного, поскольку для интуиционистов математика — это динамический, творческий процесс, подобный литературе, хотя он и управляется более строгими правилами. Математика создается (при соблюдении определенных правил), а не открывается.
Последующие поколения будут рассматривать теорию [бесконечных] множеств как болезнь, от которой мы излечились.
Анри Пуанкаре, французский математик, 1908 год
Поскольку сейчас р не существует, у него нет значения. Следовательно, ошибочно говорить, что оно находится в пределах от 0 до 9. Любое утверждение относительно р не имеет смысла. Некорректно говорить: «р либо четное, либо нечетное» или «оно равно или не равно 1».
Интуиционисты также задавались вопросом о статусе иррациональных чисел. Эти числа рассматривались только как никогда не достижимый результат последовательных приближений. Например, для интуиционистов числа π не существует в виде законченной совокупности (еще один аргумент в пользу несуществования р).
Между 1905 и 1920 годами Брауэр формулировал глобальную программу для математики на основе этих идей. В течение этих лет он писал статьи и книги, в которых объяснял, как осуществить его подход на практике. Постепенно эта программа начала обретать последователей среди самых видных математиков того времени, таких как Анри Пуанкаре (1854-1912). К 1920 году теория Кантора (скончавшегося в 1918 году) подвергалась серьезному риску быть забытой. Но за интуиционизм выступали не все математики. Одним из них был Давид Гильберт, который быстро принял теорию бесконечности.
В 1890 году он поддержал кандидатуру Кантора на пост председателя Немецкого математического общества. Кроме того, ученые дружили и вели интенсивную переписку.
Семья Гёделя. Слева направо: Марианна, Курт, Рудольф- старший и Рудольф- младший.
Немецкий математик Георг Кантор, которому приписывается создание теории множеств.
Гёдель в Вене в первой половине 1920-х годов, когда он доказал свою первую теорему о неполноте.
Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге, Германия (сегодня Калининград, Россия), и в 1885 году стал доктором математики в университете того же города. Через десять лет ему предложили должность в Гёттингене (одном из двух самых важных исследовательских центров в Германии наряду с Берлином), которую он потом занимал до конца карьеры. В числе прочего ученый внес значительный вклад в алгебру, геометрию, анализ и основания математики.
В 1899 году Гильберт переформулировал «Начала» Евклида, исправив некоторые логические пробелы, не замеченные в течение более 2100 лет. Его итоговая работа, «Основания геометрии»,— это выдающийся труд в истории математической логики. И конечно, знаковым является доклад Гильберта на Втором Международном математическом конгрессе, прошедшем в Париже в 1900 году. Одна фраза из доклада стала бессмертной. В ней ученый выразил убежденность в том, что неразрешимых математических проблем не существует: «Мы должны знать, и мы будем знать» (Wirmiissen wissen, wir werden wissen). Гильберт скончался в Гёттингене 14 февраля 1943 года.
