Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Математика » Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Виолант-и-Хольц Альберт (бесплатные онлайн книги читаем полные txt) 📗

Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Виолант-и-Хольц Альберт (бесплатные онлайн книги читаем полные txt) 📗

Тут можно читать бесплатно Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Виолант-и-Хольц Альберт (бесплатные онлайн книги читаем полные txt) 📗. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

Гипотеза Отто Нойгебауэра

Все это заставило математика Отто Нойгебауэра предположить, что числа в столбцах II и III на самом деле являются результатами вычислений над более простыми числами. Примерно в 1931 году Нойгебауэр предположил, что создателю таблички были известны формулы для определения пифагоровых троек на основе этих чисел. Для этого он выбрал два натуральных взаимно простых числа р и q, p > q. Затем он рассчитал следующие значения:

а = р2q2 (столбец II),

b = 2pq (столбец VI),

с = р2 + q2 (столбец III).

Нетрудно видеть, что

а2 + Ь2 = (р2q2)2 + (2pq)2 = р4 — 2p2q2 + q4 + 4р2q2р4 + 2p2q2 + р4 = (р2 + q2)2 = с2.

Следовательно, эти три числа образуют пифагорову тройку.

Руководствуясь этой гипотезой, Нойгебауэр начал дополнять табличку новыми столбцами, которые предположительно находились в левой, утерянной ее части.

Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - _16.jpg

Выбор значений p и q согласно гипотезе Отто Нойгебауэра (исправленные значения отмечены звездочками).

Казалось бы, все сходится. Кроме одиннадцатой строчки! Почему все числа в таблице не могут подчиняться общей закономерности? Почему закономерность нарушена именно в этой строке? Потому что она обладает крайне любопытным свойством. Числа, образующие пифагорову тройку (45, 60, 75) имеют общие делители: все они делятся на 15. Выполнив деление, получим тройку (3, 4, 5), которой соответствуют значения р = 2, q = 1.

Но это не помогло найти разгадку. Множество вопросов оставалось без ответа. Почему были выбраны именно эти значения р и q, а не какие-то другие? И что означают числа из первого столбца?

Объяснение Роберта Крейтона Бака

Математик Роберт Крейтон Бак в 1980 году объяснил значения чисел на основе тригонометрии. Для этого он изобразил все прямоугольные треугольники, описанные в табличке: за длины меньших катетов он принял числа из столбца II, за длины больших катетов — числа из предполагаемого столбца VI, за длины гипотенуз — числа из столбца III. Затем он вычислил угол между большим катетом и гипотенузой и заметил удивительный факт: в первом треугольнике длина катетов была почти одинаковой, поэтому угол между большим катетом и гипотенузой был чуть меньше 45°. Затем углы строго уменьшались с каждым шагом приблизительно на один градус.

Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - _17.jpg

В столбцах II, III и VI записаны длины сторон прямоугольных треугольников, в столбце I — результат вышеприведенной операции.

Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - _18.jpg

Величины углов в пятнадцати прямоугольных треугольниках, длины сторон которых записаны в столбцах II, III и VI.

С учетом всего этого Бак осмелился предположить, что в столбце I находятся квадраты тангенсов полученных углов. Следовательно, табличка Плимптон 322 доказывает, что тригонометрические функции были известны уже тогда. Однако эту гипотезу сложно подтвердить, так как нам неизвестны другие документы той эпохи, где для решения задач использовались бы тригонометрические функции. Часто совсем непросто определить уровень знаний разных культур на основе известных нам источников! Одни исследователи всегда будут склонны к преувеличению, другие — к преуменьшению.

Однако существование табличек — неоспоримый факт. Все значения р и q разлагаются на произведения простых делителей: 2, 3 и 5. Следовательно, значения, обратные р и q, при записи в шестидесятеричной системе счисления всегда будут иметь конечное число знаков. Может, по этой причине составитель таблички выбрал именно эти р и q, а не какие-то другие?

Интерпретация Элеанор Робсон

В феврале 2002 года Элеанор Робсон из Великобритании удивила научное сообщество, представив новую интерпретацию таблички. Быть может, вовсе не столь очевидно, что на табличке Плимптон 322 записаны пифагоровы тройки. Согласно Элеанор Робсон, автором таблички мог быть учитель математики, который использовал ее как справочник при решении определенных уравнений второй степени. Свою гипотезу она подкрепила содержанием другой таблички, YBC 6967, созданной примерно в то же время.

В ней подробно описывается способ решения уравнений вида х — 1/x = с. Он состоит в подсчете последовательности промежуточных значений, которые помогают найти решение:

a1с/2, а2 = а12,а3 = 1 + а24 = а31/2.

Зная эти числа, мы легко вычислим

x = а4 a1,1/x = a4 — a1

Согласно Робсон, в табличке Плимптон 322 использовалась та же схема: а3 записаны в первом столбце, a1 = (х — 1/х)/2 во втором, а4 = (х + 1/х)/2 — в третьем. По этой гипотезе значения х и 1/х могли находиться на утерянной части таблички.

Таким образом, на табличке было записано 15 упражнений, которые учитель давал ученикам. Табличка содержала все промежуточные значения, чтобы не нужно было каждый раз повторять вычисления. Это настоящий учебник, очень похожий на современные.

Теорема Пифагора в Шумерии

Однако исследования Робсон возвращают нас к исходному вопросу. Если табличка Плимптон 322 не является убедительным доказательством того, что теорема Пифагора была известна уже шумерам, то когда же эта теорема впервые упоминается в исторических источниках? В любом случае нужно подождать, пока не будут найдены новые таблички, которые помогут частично ответить на вопросы. Но также достоверно известно, что теорема Пифагора в том или ином виде упоминалась в обширной истории Месопотамии, и этому существуют документальные подтверждения.

К вавилонскому периоду относится задача, которая не оставляет относительно этого никаких сомнений. В задаче говорится: «Стебель тростника имеет длину 0,30. Сверху опущено 0,06, каково расстояние до низа?» В десятичной системе длина тростника равна 0,5, а расстояние от верха стены до конца стебля равно 0,1. Изобразим условие задачи на рисунке. Заметим, что стебель тростника, стена и пол образуют прямоугольный треугольник. Стебель длиной 0,5 — это гипотенуза АС, стена АВ и пол ВС — два катета.

Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - _19.jpg

Прямоугольный треугольник из шумерской задачи о тростнике.

Далее в этом же документе приводится решение. Арабскими цифрами оно записывается так:

Возведи в квадрат 0,5, получишь 0,25.

Вычти 0,1 из 0,5, получишь 0,4.

Возведи в квадрат 0,4, получишь 0,16.

Вычти 0,16 из 0,25, получишь 0,09.

Квадрат какого числа равен 0,09?

0,3.

Перейти на страницу:

Виолант-и-Хольц Альберт читать все книги автора по порядку

Виолант-и-Хольц Альберт - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике отзывы

Отзывы читателей о книге Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике, автор: Виолант-и-Хольц Альберт. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*