Великая Теорема Ферма - Аверьянова Н. Л. "Zenzen" (книги онлайн бесплатно серия TXT) 📗
Чтобы не возбуждать подозрений, Уайлс придумал хитрую уловку, которая должна была сбить его коллег со следа. В начале 80-х годов он выполнил обширное исследование одного конкретного типа эллиптической кривой и уже собрался было опубликовать его полностью, но открытия Рибета и Фрея заставили его изменить свои намерения. Уайлс решил публиковать свое исследование «по кусочкам», по одной небольшой статье каждые полгода. Это должно было убедить его коллег в том, что он все еще продолжает заниматься своими обычными исследованиями. И столько времени, сколько он сможет поддерживать свою «дымовую завесу», Уайлс сможет продолжать без помех заниматься предметом своей истинной страсти, не сообщая никому о полученных результатах.
О тайне Уайлса знал только один человек — его жена Нада. Они поженились вскоре после того, как Уайлс приступил к работе над доказательством, и, когда стали появляться первые результаты, он посвятил в свою тайну ее и только ее. В последующие годы семья была его единственным отвлечением от проблемы. «Только моя жена знала, что я работаю над доказательством Великой теоремы Ферма. Я рассказал ей об этом в наш медовый месяц, через несколько дней после нашей свадьбы. Моя жена слышала о Великой теореме Ферма, но в то время она еще ничего не знала о том романтическом ореоле, который эта теорема имела в глазах математиков, и о том, каким шипом она оставалась в теле нашей науки столь долгие годы».
Дуэль с бесконечностью
Чтобы доказать Великую теорему Ферма, Уайлсу было необходимо сначала доказать гипотезу Таниямы-Шимуры о том, что каждой эллиптической кривой можно поставить в соответствие некоторую модулярную форму. Многие математики отчаянно пытались доказать эту гипотезу, но все попытки окончились неудачей. Уайлс хорошо сознавал, какие чудовищные трудности ожидают его на пути к доказательству: «В конце концов всё, что наивно надеялись сделать одни и что действительно пытались сделать другие, сводилось к тому, чтобы пересчитать эллиптические кривые и модулярные формы и показать, что число одних совпадает с числом других. Но никто и никогда не предложил простого способа, который позволил бы сделать это. Первая трудность состоит в том, что существует бесконечно много эллиптических кривых и бесконечно много модулярных форм, и поэтому количество тех и других невозможно выразить конечным числом».
Уайлс решил воспользоваться своим обычным подходом к решению трудных задач. «Иногда я записываю на листке бумаги каракули. Строго говоря, они ничего не обозначают. Это, так сказать, подсознательные каракули. Компьютером я не пользуюсь никогда». Во многих задачах теории чисел, компьютеры оказываются совершенно бесполезными. Гипотеза Таниямы-Шимуры относится к бесконечно многим уравнениям, и хотя компьютер может проверить за несколько секунд каждый отдельный случай, он никогда не сможет проверить все случаи. Требовалось нечто другое: логическое рассуждение, которое допускало бы разбиение на отдельные шаги, которое бы в целом указывало причину и давало объяснение, почему все эллиптические кривые без исключения должны соответствовать модулярным формам. И в поиске доказательства Уайлс полагался только на листок бумаги, карандаш и свой разум. «Я не забывал ни на миг о своей цели. С этим я просыпался по утрам, над этим размышлял весь день, об этом думал, засыпая. Не отвлекаясь, я только и делал, что размышлял и размышлял над всем этим».
После года размышлений Уайлс решил избрать за основу доказательства общий метод, известный под названием индукции. Индукция — чрезвычайно мощный способ доказательства, поскольку он позволяет математику доказать, что утверждение справедливо для бесконечно многих случаев, доказав, что оно справедливо только в одном случае. Например, представим себе, что некий математик хочет доказать, что какое-то утверждение справедливо для всех натуральных чисел от 1 до бесконечности. Первый шаг состоит в том, чтобы убедиться в истинности этого суждения для числа 1, что обычно достигается прямой проверкой. Следующий шаг состоит в том, чтобы показать, что если утверждение верно для числа 1, то оно должно быть верно для числа 2, а если оно верно для числа 2, то оно должно быть верно для числа 3, а если оно верно для числа 3, то оно должно быть верно для числа 4 и т. д. Более общо, математик должен показать, что если утверждение верно для некоторого числа n, то оно должно быть верно для следующего числа n+1.
По существу доказательство по индукции представляет собой процесс, состоящий из двух частей:
1. доказательство того, что утверждение верно в первом случае;
2. доказательство того, что если утверждение верно для какого-нибудь одного случая, то оно должно быть верным для следующего случая.
Другой способ наглядно представить себе доказательство по индукции заключается в том, чтобы бесконечное количество случаев сравнить с бесконечным множеством костей домино. Чтобы доказать каждый случай, необходимо найти способ, позволяющий сбить каждую из костей домино. Если сбивать домино одно за другим, то на это потребуется затратить бесконечно много усилий. Но доказательство по индукции позволяет математикам сбить все домино, сбив только первую кость. Если домино расставлены правильно, то первое домино, упав, собьет второе домино, оно в свою очередь собьет третье и т. д. до бесконечности. Доказательство по индукции порождает эффект домино. Математический аналог этого явления (падая, каждая кость домино, сбивает следующую, поэтому достаточно повалить одну-единственную кость домино, как повалятся все остальные кости до единой) позволяет доказать бесконечно много случаев, доказав один-единственный первый случай. В Приложении 10 показано, как доказательство по индукции можно использовать для доказательства сравнительно простого математического утверждения относительно всех чисел.
Задача, стоявшая перед Уайлсом, требовала построить индуктивное рассуждение, которое показывало бы, что каждой из бесконечно многих эллиптических кривых может быть поставлено в соответствие какая-то из бесконечно многих модулярных форм, и, наоборот, каждая модулярная форма может быть поставлена в соответствие какой-то из бесконечно многих эллиптических кривых. Каким-то образом Уайлсу предстояло разделить доказательство на бесконечно много отдельных случаев, а затем доказать первый случай. Затем Уайлсу требовалось доказать, что, толкнув первую кость домино (доказав первый случай), он вызовет эффект домино (все остальные случаи будут доказаны). И в конце концов Уайлс пришел к заключению, что первый шаг его индуктивного доказательства скрыт в работе одного трагически погибшего математического гения, жившего и работавшего во Франции в XIX веке.
Эварист Галуа родился в Бур-ля-Рейне, небольшой деревушке, расположенной к югу от Парижа, 25 октября 1811 года, ровно через 22 года после Французской революции. Наполеон Бонапарт находился в ту пору в расцвете сил, но в следующем году пережил разгром в Русской кампании и в 1814 году был отправлен в ссылку. На французский трон взошел король Людовик XVIII. В 1815 году Наполеон бежал с острова Эльбы, вернулся в Париж и восстановил свою власть, но через сто дней потерпел поражение в битве при Ватерлоо и был вынужден снова отречься в пользу Людовика XVIII. Подобно Софи Жермен, Галуа рос в период великой смуты, но если Жермен отрешилась от бурных событий Французской революции и сосредоточилась на математике, то Галуа неоднократно оказывался в самом центре политических споров, которые не только помешали ему сделать академическую карьеру, но и привели к его безвременной кончине.
Помимо общей смуты, неизбежно сказывавшейся на жизни каждого француза, интерес Галуа к политике возник под влиянием его отца Николя-Габриэля Галуа. Когда Эваристу Галуа исполнилось четыре года, его отец был избран мэром Бур-ля-Рейна. Это было время триумфального возвращения Наполеона к власти, и либеральные ценности, высоко ценимые отцом Галуа, отвечали тогда духовному настрою нации. Николя-Габриэль Галуа был культурным и обходительным человеком, и в первые годы своего пребывания на посту мэра он снискал уважение всего населения. Даже когда Людовик XVIII опять взошел на трон, отец Галуа был снова выбран мэром. Вне политики его любимым занятием было сочинение эпиграмм, которые он, к восторгу своих сторонников, читал на собраниях жителей города. Много лет спустя именно недюжинный талант эпиграмматиста привел его к падению.
