УРОЖАИ И ПОСЕВЫ - Гротендик Александр (читать книги полностью без сокращений бесплатно TXT) 📗

Припоминаю еще первое «математическое изложение», когда учитель влепил мне низкий балл за доказательство одного из «трех признаков равенства треугольников». Мое доказательство не было взято из учебника, букве которого он набожно следовал на своих уроках. И все же я знаю, наверное, что оно было ни более, ни менее убедительным, чем в книжке, и даже близким по духу - с бесконечными «совместим данные фигуры таким образом, чтобы…» Очевидно, человек, меня обучавший, не был уверен в себе и своих знаниях настолько, чтобы судить самостоятельно (в данном случае об обоснованности рассуждения). Ему приходилось опираться на авторитет - например, книги, как в этот раз. Верно, все это меня тогда поразило, раз я запомнил это мелкое происшествие. Впоследствии мне не раз доводилось убеждаться в том, что подобный подход - не только не исключение (отнюдь!), но правило едва ли не из самых распространенных. Тему эту трудно исчерпать; я не один раз ее касаюсь, так или иначе, на страницах «РС». Но и по сей день волей-неволей я всякий раз теряюсь, столкнувшись с ней заново…

Последние годы войны, в то время как моя мать оставалась интернированной в лагере, я провел в детском доме «Швейцарской помощи» для детей-беженцев, в Шамбо на Линьоне. В основном там были евреи; когда нас предупреждали (местные власти) о грозящем налете Гестапо, мы уходили маленькими группками по два или три человека на одну-две ночи укрыться в лес, не слишком отдавая себе отчет в том, что речь здесь идет о нашей шкуре. Вся область тогда кишела евреями, которые прятались в диких уголках севеннского края, и выжили в основном благодаря помощи местного населения.

Поражало меня в «Севеннском колледже» (где я учился) прежде всего то, насколько мало моих товарищей интересовало все, чему их обучали. Что до меня, я жадно набрасывался на школьные книги в начале учебного года, надеясь на этот раз добраться до вещей действительно интересных; остаток же года я проводил наилучшим для себя образом, в то время как предвосхищенная программа неумолимо излагалась целыми триместрами. При всем том попадались иногда преподаватели на редкость приятные. Преподаватель естественной истории, месье Фридель, был человеком замечательного ума и редких душевных качеств. Но он не умел «свирепствовать», так что на его уроках шумели до погибели; к концу года становилось невозможно разобрать, что бы то ни было - звук его голоса тонул в общем гвалте. Потому-то, быть может, я и не стал биологом!

Я недурно проводил время, даже во время уроков (тс-с…), решая математические задачки. Скоро те, что я находил в учебнике, перестали меня удовлетворять. Может быть, потому, что чем дальше в лес, тем ясней проявлялась у них тенденция как-то уж чересчур смахивать друг на друга - но еще более потому, что они словно бы падали с неба одна за другой, длинной вереницей, не извещая, откуда они взялись и куда направляются. Трудности в задачах были книжные, а не мои. И все же в вопросах настоящих, не надуманных, не было недостатка.

Так, если заданы длины а, b, с трех сторон треугольника, задан и сам треугольник (с точностью до его расположения), а значит, должна существовать точная «формула», которая выводила бы, например, площадь треугольника как функцию а, b, с. Точно так же, если известны длины всех шести ребер тетраэдра - каков его объем? Над этим, думается, я долго бился, но достиг желаемого в конце концов. Во всяком случае, когда что-то меня «захватывало», я не считал ни часов, ни дней, пробегавших мимо, забывая обо всем остальном! (Да и сейчас не могу иначе…)

То, что меня меньше всего устраивало в наших учебниках математики - это полное отсутствие сколько-нибудь серьезного определения понятия длины (кривой), площади (поверхности), объема (тела). Я дал себе обещание, как только появится досуг, восполнить эти пробелы. Я вкладывал в это основную долю моей энергии от 1945 до 1948 г., будучи в то же время студентом Университета Монпелье. Курсы на факультете были составлены не так, чтобы я мог ими довольствоваться. Ни разу не сказав себе этого ясно, я стал чувствовать, что профессора ограничивались повторением своих учебников, точь-в-точь как мой учитель математики в лицее в Манде. И потому я появлялся в университете

только изредка, чтобы держаться в курсе этой вечной «программы». Книг с лихвой хватало, чтобы не испытывать нужды в посещении лекций, но вместе с тем они явно ни в малейшей степени не годились для того, чтобы отвечать на возникавшие у меня вопросы. По правде сказать, они даже не замечали этих вопросов, как не замечали их мои лицейские учебники. При том, что они давали первому встречному правила вычисления длин, площадей и объемов, вкупе с интегралами простыми, двойными, тройными (высшие размерности с осторожностью избегались), вопрос о настоящем определении, казалось, не вставал ни перед моими профессорами, ни перед авторами пособий.

Тогда, по собственному (весьма, впрочем, ограниченному опыту) я вполне мог заключить, что я один на всем свете наделен любопытством к математическим вопросам. Во всяком случае, на протяжении тех лет, проведенных в полнейшем интеллектуальном одиночестве, я думал именно так, нимало о том не тревожась . Кажется, меня тогда вообще не особенно занимало, есть ли в мире хоть один человек, который разделял бы мои интересы. Мне вполне хватало задора «на пари», которое я сам же с собой и заключил: смогу ли я разработать теорию, которая бы всем моим требованиям удовлетворяла.

Я нисколько не сомневался в том, что мне удастся добраться до сути вещей, просто потому, что дал себе труд, подойти к ней поближе, подставить ухо и записывать черным по белому все, что мне говорилось, по мере того как слова звучали ясней. Интуиция в отношении объема, скажем, была неопровержимой. Она не могла быть ничем иным, как отражением действительности, подчас ускользающей, но совершенно надежной и настоящей. Вот эту самую действительность и требовалось уловить - наверное, как ту волшебную сущность рифмы, схваченную и «понятую» однажды. Когда я приступал к этому, семнадцати лет от роду и едва закончив лицей, то думал, что работа займет несколько недель. Я застрял на три года. В итоге я умудрился даже завалить в конце второго курса экзамен по сферической тригонометрии (с «углубленным астрономическим уклоном», sic!) из-за дурацкой ошибки в счете. (Я никогда не был особенно силен в вычислениях, с тех пор как вышел из лицея…) В связи с этим мне пришлось, чтобы закончить свой диплом, остаться на третий год в Монпелье вместо того, чтобы тотчас же ехать в Париж - только там, как меня уверяли, мне выпадет случай повстречать людей, которые были бы в курсе всего реально происходящего в математике. Месье Сула - тот, кто мне все это рассказывал - убеждал меня также, что последние проблемы, которые еще поднимались в математике, были разрешены двадцать или тридцать лет назад неким Лебегом. Он разработал как раз (решительно, удивительное совпадение!) теорию меры и интегрирования, чем и поставил завершающую точку в математике.

Месье Сула, мой профессор «дифференциального исчисления», был человеком доброжелательным и хорошо ко мне относился. Не думаю, чтобы он сколько-нибудь меня разуверил. Должно быть, во мне уже поселилось предвидение того, что математика есть нечто беспредельное по глубине и широте. Есть ли у моря «завершающая точка»? Во всяком случае, мне и в голову не приходило, что я должен пойти разыскать книгу этого Лебега, о которой говорил мне месье Сула, хотя сам и не держал никогда ее в руках. По моим представлениям, между тем, что могло содержаться в книге, и той работой, которую делал я, по-своему, чтобы удовлетворить свое любопытство не было ничего общего.

2. Когда, год или два спустя, я наконец установил связь с математическим обществом в Париже, я узнал среди многого другого, что труд, завершенный мною в моем углу, своими силами и подручными средствами, представлял собой (за небольшим только исключением) нечто, прекрасно известное «всему миру» под названием «Лебеговской теории меры и интеграла». В глазах двух или трех старших математиков, с которыми я говорил об этой работе (и даже показывал рукопись), это была почти что потеря времени, переоткрытие «уже известного». Не припомню, впрочем, чтобы я был разочарован. В ту пору идея заслужить «признание», в виде одобрения или хотя бы интереса других людей к тому, чем я занимался, была еще чужда мне по духу. Кроме того, моя энергия в достаточной мере уходила на освоение в совершенно новой