Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства - Млодинов Леонард
Древняя Греция состояла из множества маленьких политически независимых областей, или городов-государств, – частью демократических, частью управляемых аристократами или тиранами. О повседневной жизни греков мы знаем в основном применительно к Афинам, но житье у граждан разных краев Эллады имело много общего и за несколько столетий после Фалеса мало изменилось – за вычетом голодных или военных лет. Грекам, судя по всему, нравилось светски проводить время – в цирюльнях, храмах, на рынках. Сократ обожал обувную лавку. Диоген Лаэртский писал о сапожнике по имени Симон, который первым представил сократовы диалоги в виде разговора. На руинах мастерской V века до н. э. археологи обнаружили осколок винной чаши с именем «Симон» [22].
Древним грекам нравились и званые ужины. За афинским ужином следовал симпосий – буквально «совместное питие». Бражники, хлебая разбавленное вино, обсуждали философию, пели песни, пересказывали анекдоты и играли в шарады. Не преуспевших в разгадывании шарад или болтавших ерунду ожидало наказание – плясать нагишом по зале, например. Увеселения греков смахивают на студенческие, это верно, однако такова же была и их сосредоточенность на постижении. Греки ценили пытливость.
Фалес, судя по всему, как и многие греки Золотого века, обладал неутолимой жаждой знаний. Посещая Вавилон, он впитывал учение и математику астрономии – и прославился тем, что привез это знание в Грецию. Одно из легендарных достижений Фалеса – предсказание солнечного затмения 585 года до н. э. Геродот сообщает, что оно произошло в разгар битвы [23], и благодаря ему сражение прекратилось и воцарился долгий мир.
Фалес подолгу бывал и в Египте. Египтяне владели секретом постройки пирамид, однако им не хватало понимания, необходимого для измерения их высоты. Фалес искал теоретические объяснения фактов, открытых египтянами эмпирически. Обретя это понимание, Фалес мог вывести геометрические методы один из другого, либо овладеть решением одной задачи, зная решение другой, потому что извлек абстрактную суть из определенного практического приложения. Он поразил египтян демонстрацией метода измерения высоты пирамид [24], применив все те же знания свойств подобных треугольников. Позднее Фалес использовал сходную технологию для измерения морского пути корабля. В Древнем Египте он стал знаменитостью.
В Греции Фалес был признан современниками одним из Семи мудрецов – семи умнейших людей на свете. Его деяния впечатляют еще больше, если учесть примитивнейший уровень математического знания у среднего человека того времени. Например, семью веками позже великий греческий мыслитель Эпикур по-прежнему считал [25], что солнце – не такой уж громадный огненный шар, а «как раз такой, каким мы его наблюдаем».
Фалес сделал первые шаги по систематизации геометрии. Он первым доказал геометрические теоремы, подобные тем, что Евклид века спустя собрал в «Началах». Осознав необходимость неких правил, из которых можно обоснованно делать дальнейшие выводы, Фалес изобрел первую систему логического мышления. Он первым осмыслил понятие о сравнимости пространственных фигур: две фигуры на плоскости можно считать равными, если можно так сдвинуть и повернуть одну, чтобы она в точности совпала с другой. Расширение идеи равенства чисел до фигур в пространстве оказалось громадным рывком математизации пространства. Это не так очевидно, как может показаться нам, усвоившим это еще в школьные годы. На самом деле – и мы еще в этом убедимся – такой вывод требует допущения однородности, т. е. что фигура не искажается и не меняется в размерах при движении, а это не так для некоторых пространств, включая наше физическое. Фалес сохранил для своей математики египетское название – «измерение земли» [26], – однако перевел его на родной язык, и получилась «геометрия».
Фалес утверждал, что наблюдение и рассуждение могут объяснить все происходящее в природе. В конце концов он даже пришел к революционному заключению, что природа подчиняется неизменным законам. Удары грома – не вопли сердитого Зевса. Наверняка же существует объяснение получше, вытекающее из наблюдения и рассуждения. А в математике любые выводы о мире должны быть подтверждены правилами, а не догадкам и наблюдениями.
Фалес размышлял и над понятием физического пространства. Он осознал, что вся материя мира, несмотря на ее разнообразие, должна быть по сути одним и тем же веществом. За полным отсутствием подтверждений такой рывок интуиции совершенно поразителен. Следующий естественно возникший вопрос: а что же это за вещество? Живя в портовом городе [27], Фалес, следуя интуиции, выбрал им воду. Поразительно: ученик и соотечественник Фалеса, милетец Анаксимандр пришел к сопоставимому по мощности интуитивному выводу об эволюции, выбрав низшим животным, от которого произошел человек, рыбу [28].
Когда Фалес превратился в немощного старца, устрашенного бессилием собственного ума, он встретил самого важного предтечу Евклида – Пифагора Самосского. Самос был большим городом на одноименном острове в Эгейском море, неподалеку от Милета. Гости острова и по сей день могут обозреть разрушенные колонны и базальтовые руины театра, обращенного к древней гавани. Во дни Пифагора город цвел. Когда Пифагору было 18, умер его отец. Дядя дал ему сколько-то серебра и рекомендательное письмо и выслал с визитом к философу Ферекиду на соседний остров Лесбос, от названия которого происходит слово «лесбийский».
Согласно легенде, Ферекид изучал тайные книги финикийцев и принес грекам верование в бессмертие души и перерождение, а Пифагор сделал эти представления фундаментом своей религиозной философии. Пифагор и Ферекид подружились на всю жизнь, однако на Лесбосе Пифагор не остался. К своим двадцати годам он успел съездить в Милет, где и познакомился с Фалесом.
Вот вам историческая картина [29]: юноша с длинными густыми волосами, облаченный не в традиционную греческую тунику, а в штаны – эдакий античный хиппи, – навещает знаменитого старца. Фалес к тому времени уже понимал, что его прежнее величие клонится к закату. Усмотрев в юноше, быть может, отблеск собственной молодости, он извинился за упадок своего разума.
Нам неведомо, что именно сказал Фалес Пифагору, однако известна сила его влияния на молодого гения. Годы спустя после смерти Фалеса Пифагор, сидя дома, время от времени запевал песни во славу усопшего провидца. Все античные свидетельства той встречи сходятся в одном: Фалес обратился к Пифагору с воззванием на манер Хорэса Грили, однако не на Запад отправил он молодого человека [30], а в Египет.
Глава 4. Тайное общество
Пифагор послушался советов Фалеса [31] и отправился в Египет, но в тамошней математике не обрел поэзии. Геометрические объекты были физическими сущностями. Линия оказалась веревкой, натянутой гарпедонаптом, или кромкой пашни. Прямоугольник – границами участка земли или поверхностью каменной плиты. Пространство – илом, почвой и воздухом. Именно грекам, а не египтянам принадлежит романтическое, метафорическое представление математики: пространство может быть математической абстракцией и, что не менее важно, абстракция эта может быть применена в самых разных обстоятельствах. Иногда линия – это просто линия. Но в то же время линия может представлять и ребро пирамиды, и границу пашни, и путь вороны в небе. Знание об одном переносимо на другое.
По преданию, Пифагор шел как-то мимо кузни и услышал, как по тяжелой наковальне стучат разные молоты. Он задумался. Повозившись со струнами, он обнаружил гармонические последовательности, а также связь между длиной поющей струны и тоном слышимой музыкальной ноты. Струна вдвое длиннее, например, поет в два раза ниже. Наблюдение с виду простое, однако глубина его революционна – его часто считают первым в истории примером эмпирического открытия закона природы.
