Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Математика » История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Манкевич Ричард (книги бесплатно без .TXT) 📗

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Манкевич Ричард (книги бесплатно без .TXT) 📗

Тут можно читать бесплатно История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Манкевич Ричард (книги бесплатно без .TXT) 📗. Жанр: Математика / Научпоп. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:

Огастес де Морган был верным сторонником новой алгебры. Он родился в Индии, посещал Колледж Троицы в Кембридже, но не стал «оксфордианцем» или «кембриджианцем», потому как, хотя и принадлежал к англиканской церкви, де Морган отказался пройти теологический экзамен, необходимый для получения диплома. Вместо этого в возрасте двадцати двух лет он был назначен профессором недавно основанного светского Лондонского университета, позднее получившего название Университетского колледжа в Лондоне. Он значительно развил идеи Пикока, уже в 1830 году заявив, что «за одним-единственным исключением, в этой главе ни одно из понятий или знаков арифметики или алгебры не имеет ни малейшего значения. Предмет обсуждения этой главы — символы и законы их сочетания, позволяющие создать символическую алгебру, которая после этого может стать грамматикой для ста различных алгебр». Единственным исключением, по де Моргану, был символ равенства, по этой причине в выражении х=у х и у должны иметь одно и то же значение. Это странно звучащее высказывание взято из книги «Тригонометрия и двойная алгебра» (1830): «двойная алгебра» относится к сдвоенной природе комплексных чисел в противоположность «одиночной алгебре» действительных чисел. Но де Морган, казалось, не сумел до конца понять важность собственного заявления: увидев подобие между одинарной и двойной алгебрами, он полагал, что тройной или четверной алгебры быть не может. В этом он сильно ошибался.

Несмотря на то что оба родителя Уильяма Роуэна Гамильтона умерли, когда он был еще ребенком, его дарование стало заметным очень рано. Талантливый лингвист, он уже в пятилетием возрасте читал тексты на греческом, иврите и латыни. Он проступил в Дублинский Тринити Колледж и в двадцать два года, еще не получив диплома о завершении образования, был назначен Королевским астрономом Ирландии, директором обсерватории Дансинка и преподавателем астрономии. Одной из его любимых тем было рассуждение о том, что пространство и время неразрывно связаны, причем геометрия — это наука о пространстве, а алгебра — наука о времени. В 1833 году он представил в ирландскую Королевскую академию характерное представление сложных чисел а + ib как упорядоченной пары (а, b) со ставшими теперь стандартными геометрическими интерпретациями сложения и умножения:

(а, b) + (с, d) = (а + с, b + d)

(а, b) х (с, d) = (ас - bd, ad + bc)

Затем он попытался распространить систему двумерных сложных чисел до трех измерений. Поначалу это казалось довольно просто — он просто определил z = а + ib + jc с длиной, равной √ (а2 + b2 + с2). Определение сложения тоже было довольно простым, но умножение просто не будет работать: невозможно менять сомножители местами без изменения результата. Эта проблема и числа более высокого порядка не давали ему покоя больше десяти лет. Затем, 16 октября 1843 года, он шел с женой вдоль Королевского канала, и вдруг на него снизошло озарение: нужно использовать четверки, а не тройки и отбросить закон коммутативности. В результате четверки выглядели так: z=a + ib +jc + kd c i2 =j2 = k2 = ijk = -1. Это означало, что ij = k, но ji = -k, так что переместительный закон был отброшен. Но в целом структура была последовательной. Так возникла новая алгебра. Гамильтон остановился и вырезал формулу ножом на камне Бротонского моста. В тот день он оповестил ирландскую Королевскую академию, что на следующей встрече он желает прочитать лекцию о кватернионах — так он назвал свои четверки.

Важность этого открытия — не только в создании новой алгебры, но и в том, что математики получали свободу построения новых видов алгебры. Это первая подробная теория о некоммутативной алгебре. Свойство некоммутативности означает, что при трех измерениях общая последовательность двух вращений даст различные результаты в зависимости от того, в каком порядке они будут выполняться, в отличие от того, что происходит при двух измерениях. Оставшуюся часть жизни Гамильтон развивал новую алгебру и в 1853 году опубликовал «Лекции о кватернионах». Большая часть этой работы посвящена применению кватернионов в геометрии, дифференциальной геометрии и физике. Как мы увидим в следующей главе, Джеймс Клерк Максвелл сформулировал свои уравнения электромагнетизма в нотации кватернионов. Гамильтон был до одержимости твердо уверен, что кватернионы — ключ к полному описанию законов Вселенной. Он умер в 1865 году, почти завершив свой труд «Основы теории кватернионов», который был отредактирован и издан его сыном уже после смерти ученого.

Не только алгебра вырвалась из цепей геометрии, но и геометрия вышла за рамки пространственных концепций (см. Главу 16). И алгебру, и геометрию все больше рассматривали как абстрактные конструкции, простыми частными случаями которых были знакомая нам арифметическая алгебра и двух- и трехмерная геометрия.

Теорема 1

Все операции с языком как инструментом рассуждения могут быть выполнены с помощью системы знаков, состоящих из следующих элементов:

1. буквенные символы, такие, как х, у и т. д., которые отображают объекты наших концепций.

2. Знаки операций, такие, как +, -, х, описывают операции, являющиеся предметом наших размышлений, при помощи которых концепции и объекты комбинируются или решаются, чтобы сформировать новые концепции, вовлекающие те же самые элементы.

3. Знак равенства, =.

И эти символы логики используются, подчиняясь определенным законам, отчасти согласующимся с законами, соответствующими тем, что приняты в алгебре, а частично отличающимся от них.

Джордж Буль.
Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей (1854)

Молодая американская математика проявила себя именно в области создания новых алгебр. Бенджамин Пирс (1809–1890), профессор математики в Гарварде и директор Геодезической службы, был очень впечатлен работой Гамильтона и начал широко распространять его идеи в США. Пирс начал составлять таблицы для 162 различных алгебр. Каждая алгебра начиналась с нескольких — от двух до шести — элементов, которые могли быть скомбинированы при помощи двух операций — ассоциативного умножения и сложения. В сложении всегда был нейтральный элемент ноль, однако умножение порой не имело нейтрального элемента 1. Каждая из этих «линейных ассоциативных алгебр» разворачивалась в матрицу. Из-за того что профессор Гарварда в 1870-е годы был вынужден издавать свою работу литографическим способом, некоторые заключили, что в США экономические трудности. Работа была записана переписчицей от руки и напечатана в количестве всего 100 экземпляров. Сын Бенджамина, Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914), продолжил работу отца и показал, что из всех 162 алгебр только в трех была уникально определенная операция деления — в арифметической алгебре, алгебре комплексных чисел и алгебре кватернионов. В Англии Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879) создал свои алгебры (в том числе алгебру октонианов и бикватернионов). Он сделал это прежде всего для того, чтобы изучить движение в неевклидовом пространстве. Все эти новшества увели ученых далеко от той алгебры, которую знали в начале столетия.

Здесь история разветвляется на множество переплетающихся путей. Последователи Буля применили математику к логике, создав алгебраическую логику; итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932), а позднее английский математик и философ Бертран Рассел (1872–1970) стремились вывести математику из логики — эту затею можно определить как логицизм. Другие ученые, тревожась из-за появления новых математических структур, начали искать твердый фундамент математики — то, на чем сможет надежно стоять все здание этой науки. О практических результатах этого поиска можно узнать из главы 23.

Перейти на страницу:

Манкевич Ричард читать все книги автора по порядку

Манкевич Ричард - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных отзывы

Отзывы читателей о книге История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных, автор: Манкевич Ричард. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*