Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма - Коллектив авторов (читать книги полностью без сокращений .TXT) 📗

Итак, на тот момент Паскаль уже полностью осознавал это достижение: оказалось, что случай, как правило, распределяется "справедливо" (выражаясь его несколько теологическими словами) и это распределение можно выразить "математически". А когда Паскаль говорит о геометрии, на самом деле он имеет в виду математику в целом. К сожалению, Паскаль был уже серьезно болен в то время, когда развивалась его переписка с Ферма. В одном из писем он сообщал тулузцу, что лежит в постели и что он получил его письмо, но не смог прочесть. Почти точно известно, что у Блеза Паскаля был рак желудка, который и убил его. Паскаль был нездоров уже с 20 лет, страдал от ужасных головных болей и медленно угасал.

Через шесть лет после их краткой переписки, в 1660 году, зная, что Паскаль уехал из Парижа в родной город Клермон на лечение, Ферма предложил ему личную встречу. К тому времени у тулузца тоже не было сил предпринять путешествие, и он предложил Паскалю промежуточное место. Но Паскаль ответил, что это невозможно. Он также сказал Ферма, что ему было бы очень приятно познакомиться с ним лично, не из-за математики (геометрии, как он говорил), ради которой он уже не сделал бы и пары шагов, а из-за удовольствия побеседовать с человеком, которым так восхищался. Называя Ферма "главным геометром Европы", он в то же время выражал безразличие к этому занятию, убеждая героя нашей книги в том, что качества его души ценнее всего его математического знания. Теолог выиграл партию у ученого в сердце больного Паскаля.

Как бы то ни было, Паскаль сообщил Ферма, что его целью было вернуться в Париж как можно более комфортным способом: по каналам. Можно догадаться, что из-за болей он не мог даже представить себе, как залезть в дилижанс. Паскаль умер в 39 лет настоящим аскетом, каким он был всю свою жизнь. Религиозность убедила его в том, что страдания являются естественным состоянием человека, и он принял свой крест с мужеством и стоицизмом. Паскаль видел, как янсенизм, который он так защищал, был объявлен ересью и, следовательно, начал подавляться королем. Он написал последнюю работу в защиту своих идей и скончался 18 августа 1662 года. Ферма остался один. Теоретически его учеником мог стать Христиан Гюйгенс, но голландец, хотя и признавал гений тулузского ученого, был неспособен понять его. Великому математику XVII века так и не удалось создать школу.

Вспомним, что полемика с Декартом началась с замечаний Ферма о "Диоптрике", одном из приложений к "Рассуждению о методе". В предыдущей главе мы не очень глубоко рассматривали аргументы Ферма, поскольку именно на эту тему они практически не спорили. Их полемика быстро перешла на методы максимумов и минимумов и построения касательных.

Но ближе к концу жизни, когда Декарт уже восемь лет как был мертв, Ферма снова вернулся к этому разговору.

Мне бы очень хотелось знать, что он [Ферма] ответит как на письмо, которое я прилагаю к этому, так и на предыдущее, в котором я ответил на его выпад против моей "Диоптрики". Я написал оба эти письма для того, чтобы он их прочитал, если Вы окажете мне эту любезность".

Декарт в письме Мерсенну 18 января 1638 года

Пьер де Ферма был, в первую очередь, математиком. Ученый проявлял лишь незначительный интерес к физике, к тому, что тогда называлось "натурфилософией". Он ограничился некоторыми комментариями в защиту идей по геостатике его друга Бограна и знаменитой полемикой с Декартом по оптике. Ферма не сам вступил в эту полемику. Он подумал, будто Мерсенн и Богран просят его прокомментировать работу Декарта, и сделал это с наилучшими намерениями, не осознавая, что его поступок приведет к вражде с философом.

Возражения Ферма в 1637 году, когда его переписка с Мерсенном только начиналась, носили в основном философский характер. Математик был убежденным сторонником эмпиризма, с которым он ознакомился благодаря Фрэнсису Бэкону.

Он считал, что истину в физических науках можно найти только посредством эксперимента, как это делал Галилео Галилей. Декарт же, согласно Ферма, отступал на шаг назад, пользуясь рациональным, полностью аристотелевским методом для того, чтобы попытаться дойти до истин, связанных с природой.

На первую критику Ферма "Диоптрики" повлиял и еще один момент. Декарт не стал публиковать одно из приложений к своей работе, "Трактат о свете", в котором он объяснял свои физические воззрения, из-за страха перед инквизицией. Не так давно был осужден Галилей, а Декарт так же, как и Галилей, был сторонником гелиоцентрической системы. Поэтому Декарт воздержался от публикации и лишил "Диоптрику" физического обоснования, оставив ее простым математическим трактатом. Следовательно, Ферма не мог узнать о физических идеях Декарта. Он был знаком только с его общей рациональной методикой. И математические принципы "Диоптрики" представились ему произвольными, не имеющими никаких оснований.

Далее посмотрим на то, чего Ферма не знал. Свет для Декарта — это импульс, который передается посредством столкновения между очень легкими частицами, такими как бильярдные шарики (практически вся декартова физика основывается на столкновениях). В качестве сравнения Декарт говорил о трости слепого, которая, сталкиваясь с чем-нибудь, передает импульс от этого удара руке слепого. Свет поступает с глазом подобным образом, а трость — это последовательность частиц, сталкивающихся друг с другом. Кроме того, их перемещение мгновенно.

Зеркальное отражение (рисунок 1) происходит, когда свет полностью или частично отражается отражающей поверхностью, такой как металл или лужа воды. Как мы сегодня знаем (хотя это считалось спорным в XVII веке), в законе отражения света говорится следующее.

1. Падающий луч РО, отраженный луч OQ и нормаль находятся в одной и той же плоскости, и эта плоскость перпендикулярна поверхности.

2. θ_i =θ_r.

З. РО и OQ находятся с противоположных сторон от нормали.

Преломление (рисунок 2) наблюдается, когда свет переходит из прозрачной среды некоторой плотности в среду с другой плотностью. Все мы сталкивались с ситуацией, когда ложка, частично опущенная в воду, кажется "сломанной". В законе преломления, известном как закон Снелла, говорится, что синус угла между падающим лучом и нормалью так относится к синусу угла между нормалью и преломленным лучом, как соответствующие скорости и обратные показатели преломления друг к другу:

sinθ₁/sinθ₂ = v₁/v₂ = n₁/n₂

РИС. 1

РИС . 2

Декарт продолжал рассуждать о том, что импульс, поскольку это "сила" (декартова сила — не то же самое, что ньютоновская, к которой мы привыкли), может быть разложен на векторы. На основе этого он выводил законы отражения: для него они были подобны удару бильярдного шарика о неподвижную стену (как можно заметить, такой удар имеет сходство с отражением света: угол, под которым шар ударяется о стену, равен углу, под которым он отскакивает от нее). В очень спорном виде Декарт вывел закон преломления (то, что мы сегодня знаем как закон Снелла) из гипотезы о том, что при изменении среды на более плотную свету нужно затрачивать больше усилий для перемещения.

У модели Декарта была одна проблема: во вселенной бильярдных шаров при изменении среды, например при проникновении через очень тонкую ткань, угол между траекторией шара и нормалью к границе сред увеличивается. В оптике же, наоборот, наблюдается уменьшение угла. Для устранения данного противоречия Декарт придумал физическую уловку: объяснение специально для этого случая, не имеющее никакой основы. Оно имеет смысл, только если известны принципы декартовой физики. Обоснование теории света Декарта находится в его физике, а не в его математике.