Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел - Лизана Антонио Руфиан (читать полные книги онлайн бесплатно txt) 📗
Ключевым в жизни Гаусса был 1831 год. За год до этого его сын Ойген уехал в США из-за семейных размолвок, а в этом году умерла Минна, вторая супруга ученого, — возможно, от туберкулеза, и его дочь Тереза взяла на себя ведение хозяйства. В конце этого же года в Гёттинген приехал Вильгельм Вебер, чтобы занять место преподавателя физики. С этого момента павший было духом Гаусс вновь нашел в науке спасение от своих семейных бед.
Как в научных, так и в дружеских отношениях между Гауссом и Вебером царила полная гармония; Вебер познакомил математика с новыми областями исследования, часть из которых была экспериментальной. Плодотворное сотрудничество, да и само присутствие коллеги помогли Гауссу пережить этот тяжелый период. Он всегда интересовался физикой, но многие его исследования, исключая сделанные в области астрономии и геодезии, носили сугубо теоретический характер. Прежде чем познакомиться с Вебером, Гаусс занялся вариационным исчислением, которое было одной из центральных тем XVIII века. Оно может быть рассмотрено как математическая задача, но является базовым для многих задач физики. Вариационные задачи — это задачи на оптимизацию, в них речь идет о нахождении лучшего значения, но здесь оптимум — это не значение, а функция.
Мы привыкли рассматривать задачи на оптимизацию, которые математически формулируются как:
Min: ƒ(х)
а:х е S,
где S — множество значений, между которыми мы можем искать решение, что называется допустимым множеством. Функция ƒ также называется целевой функцией. С математической точки зрения не существует никакой разницы, заключается задача в максимизации или минимизации, поскольку можно совершить замену, всего лишь изменив знак целевой функции, так что следующая проблема равносильна предыдущей:
Min: -ƒ(х)
а:х е S,
В зависимости от типа функции ƒ и свойств допустимого множества у нас получится тот или иной тип задачи. Решение этого типа задач может быть как числом, так и вектором (рядом), в случае функции, определенной в пространстве с несколькими измерениями.
Вильгельм Вебер (1804-1891) — немецкий физик первой половины XIX века. Получил образование в Университете.Галле и остался в нем преподавать до 1831 года, когда перешел в Гёттингенский университет. Там ученый подружился с Гауссом, с которым сотрудничал в исследованиях по электричеству и магнетизму.
В 1833 году они изобрели новый тип телеграфа — зеркальный гальванометр Гаусса — Вебера. Позже физика исключили из Гёттингенского университета за оппозицию к властям.
В 1843 году он начал преподавать в Лейпцигском университете и остался там до 1849 года, затем вернулся в Гёттинген и через некоторое время был назначен директором астрономической обсерватории этого города — на должность, которую до него занимал Гаусс. Вебер работал над установлением абсолютных единиц измерения электрического тока и посвятил последние годы жизни изучению электродинамики, разработав ее основы для последующего создания электромагнитной теории света.
Рассмотрим простой пример. Булочник каждый день печет один вид буханок хлеба. С одной стороны, он хочет удовлетворить своих клиентов и испечь достаточно хлеба, а с другой — он не хочет создать избыток товара, который не найдет покупателя в этот же день. Сделав исследования спроса и предложения, мы можем найти решение, которое принесет булочнику наибольшую прибыль, и вполне можно предположить, что решение будет натуральным числом. Если он печет несколько видов хлеба, например ржаной, кукурузный и пшеничный, решение будет не одним числом, а множеством из трех чисел, которое укажет, сколько буханок каждого типа ему нужно выпечь. Решение будет вектором.
Теперь подумаем о другом примере оптимизации. Мы на улице, и кто-то спрашивает нас, как быстрее попасть на автобусную остановку. Ответ не может быть числом и даже списком чисел. Логичным ответом было бы объяснение дороги: куда надо идти, где повернуть и так далее. Этот тип ответа лучше всего привести к математическому описанию с помощью функции, которая дает тому, кто пользуется ею, критерий к действию в зависимости от места, в котором он находится в каждый момент пути. Задачи на оптимизацию, в которых решение — это функция, известны как вариационные проблемы, и они очень широко применяются в физике.
В 1829 году появилась короткая публикация Гаусса о проблеме вариационного исчисления в механике, в которой он ввел понятие принципа наименьшего принуждения. Под принуждением к движению Гаусс понимал ограничения, которым подвержено движение в любой физической системе. Ученый утверждал, что природа стремится сделать принуждение минимальным:
«Очень заметно, что свободные движения, когда они не могут сосуществовать с необходимыми условиями, модифицируются при родой точно так же, как математик, согласно методу наименьших квадратов, приводит к согласию наблюдения, связанные между собой необходимыми зависимостями. Можно продолжить эту аналогию, но это не является сейчас моей целью».
Идея состоит в том, что природа действует наиболее свободным способом из тех, которые возможны при наложенных ограничениях. Как видно, здесь снова появляется отсылка к одному из главных открытий Гаусса — методу наименьших квадратов.
Ученый сделал многое для того, чтобы математика могла сочетаться с физикой. В своей работе Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii («Общие принципы теоретической схемы жидкостей в состоянии равновесия») 1830 года он вновь рассмотрел вариационную задачу, связанную с определением рисунка равновесия поверхности жидкости при учете гравитации и сил капиллярности и адгезии:
«В результате деликатного и сложного исследования мы получаем состояние равновесия, которое доступно здравому смыслу и показывает адаптацию под несколько превалирующих сил в конфликте».
Снова та же самая идея принципа наименьшего принуждения, в этот раз примененного к механике жидкостей.
В рамках идей того же порядка Гаусс работал с формализацией и математическими свойствами ньютоновского притяжения, создав так называемую теорию потенциала. Именно в этом контексте появляется знаменитый закон Гаусса: «Поток в гравитационном поле через произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален общей массе, заключенной в этой поверхности», где гравитационное поле — это множество сил, которые представляют гравитацию. Этот результат сокращает до элементарных вычислений работу, которая раньше требовала специально разработанных методов.
Нельзя сказать, что на момент приезда Вебера Гаусс был далек от физики, но благодаря ему математик занялся физическими проблемами гораздо более решительно и усердно. Теперь он стремился найти ответы на вопросы техники и инженерного дела.
В 1832 году, параллельно с интересом к электричеству, Гаусс начал исследования в области земного магнетизма. Следует заметить, что сегодняшнее представление об электричестве и магнетизме как двух аспектах одного и того же явления тогда было далеко не очевидным. Инициатива участия Гаусса в изучении магнетизма принадлежала Александру фон Гумбольдту, который искал сотрудничества с ним, чтобы установить сеть точек наблюдения земного магнитного поля во всем мире. Речь идет о первой в истории попытке начать крупномасштабное наблюдение с новыми требованиями: установление общих стандартов, техник измерения, требований к точности и достоверности. Цели программы состояли в изучении распределения земного магнетизма, изменений его интенсивности со временем, склонения и наклонения, а также, что довольно амбициозно, в определении происхождения магнитного поля Земли. Уже в 1832 году Гаусс опубликовал важную работу об абсолютном измерении магнитного поля Земли под названием Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata («Измерение абсолютной интенсивности магнитного поля Земли»).
