Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика - Арбонес Хавьер (читать книги онлайн полностью без регистрации .txt) 📗
* * *
НЕТ — ТРИДЕКАФОНИИ!
Может показаться забавным, что Шёнберг, создатель додекафонии, системы из 12 звуков, страдал оттрискаидекафобии — боязни числа 13. Причины этой фобии неизвестны. По-видимому, она появилась еще в древние времена, так как еще викинги избегали «чертовой дюжины», а в христианской традиции это число связывается с Иудой, который был тринадцатым на Тайной вечере. В древней Персии это число ассоциировалось с хаосом.
Боязнь числа 13 порой достигает невероятных размеров. Так, во многих городах, где улицы пронумерованы, нет улицы под номером 13; во многих зданиях нет 13-го этажа. В «Формуле-1» ни один автомобиль не имеет номер 13. Американского актера Стэна Лорела из знаменитого дуэта Лорела и Харди на самом деле звали Стэн Джеферсон (13 букв); он сменил фамилию из-за боязни числа 13. Некоторые музыканты также демонстрировали по меньшей мере предубеждение к этому числу: американец Джон Мэйер записал 14 композиций для своего альбома Room for Squares, но композиция под номером 13 содержит лишь две секунды тишины, а в нумерации композиций на этом альбоме число 13 пропускается.
Арнольд Шёнберг родился 13 сентября 1874 года. Он изменил название своей оперы Moses und Aaron («Моисей и Аарон») на Moses und Aron, так как первый вариант названия содержал 13 букв. Он боялся умереть в год, кратный числу 13, и в 1950 году, когда ему исполнилось 76 лет (7 + 6 = 13), он впал в депрессию. Он умер в пятницу 13 июля 1951 года. В свою очередь Альбан Берг был одержим числом 23, которое считал фатальным. Тем не менее это число часто используется в его Лирической сюите: многие ее части имеют число тактов, кратное 23, равно как и темп метронома.
* * *
Серии
Чтобы достичь этой цели, в додекафонии используется ряд правил. Например, чтобы слушатель не заострял внимание на определенных нотах больше, чем на остальных, композиции должны содержать полные циклы из всех 12 нот. После того как была использована одна нота, ее можно использовать снова только тогда, когда будет завершен цикл из 12 нот.
Ноты циклов не располагаются в беспорядке — напротив, в основе каждой композиции лежит «серия» — четко упорядоченная последовательность из 12 звуков хроматической гаммы.
Однако серия — это не просто группировка звуков с целью их статистического подсчета, а эквивалент традиционного мотива. В этом смысле додекафония признает себя продолжателем западной музыкальной традиции. Изображенная ниже серия используется в Сюите ор. 25 Шёнберга — одном из первых произведений, в котором применена система из 12 звуков.
Композитор наряду с основной серией создает другие, связанные или производные серии. Они получаются с помощью преобразований, которые мы рассмотрели в главе 3: инверсии, ракохода и транспозиции.
Существует четвертое преобразование, популярное у некоторых композиторов, — поворот. Если мы представим серию в виде круга (соединив первую ноту с последней), поворот будет эквивалентен началу серии с любой из точек круга.
Может показаться, что додекафоническая запись не требует особого творчества, потому что в ней используются серии. Да, применение серий составляет саму суть додекафонии, но каждый композитор подстраивает их к своим потребностям. На основе серии композитор может использовать разнообразные приемы: запись нот серии в разных октавах и для разных инструментов; начало исходной или преобразованной серии до того, как закончено исполнение предыдущей; работа с производными сериями, составленными из фрагментов исходной, и так далее.
* * *
КАКОВО ЧИСЛО ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ СЕРИЙ?
Первой нотой серии может быть любая из 12 возможных. После того как мы выбрали первую ноту, следующую можно выбрать из 11 оставшихся. Таким образом, число возможных вариантов для первых двух нот равно 12·11. Третьей нотой может быть любая из десяти оставшихся. Таким образом, число вариантов для первых трех нот равняется 12·11·10. Продолжив рассуждения, получим, что общее число возможных различных серий равно 12·11·10·9·…·3·2·1 = 479001600. Это число называется факториал 12 и записывается как 12!
Факториал любого целого положительного числа п определяется как произведение всех целых положительных чисел от 1 до n. Таким образом, n! = n·(n — 1)·…·2·1.
Однако для додекафонических серий подсчет «различных по сути» мелодий выглядит несколько сложнее, так как в этом случае не должны учитываться транспозиции, инверсии, ракоходы и сочетания этих преобразований. Тщательные подсчеты показывают, что число различных серий равно 9 985 920.
* * *
Числовая и матричная форма
Традиционные партитуры, в которых используется нотный стан, подчиняются логике диатонической музыки. Одним из следствий этого является тот факт, что расстояние между соседними линиями нотного стана и промежутками между ними не всегда обозначает один и тот же музыкальный интервал. Иногда этот интервал состоит из двух полутонов (от ре до ми), иногда — из одного (от ми до фа). Из-за этого в додекафонической музыке используются альтерации. По этой причине, как видно из предыдущих примеров, инверсии и ракоходы додекафонических серий «не видны» на партитурах.
Серию также можно представить в числовом виде, что упрощает запись мелодии. При записи серий в числовом виде, как правило, выбирается исходная нота. В следующем примере исходной нотой является ми, которой присвоено значение 0. Далее последовательно нумеруются полутона: фа обозначается 1, фа диез — 2, соль — 3 и так далее.
При представлении серии в числовом виде для нахождения связанных серий можно использовать средства арифметики. Например, транспозиция серии получается прибавлением одного и того же числа k к каждому элементу серии:
Tk(s1, s2, …, s12) —> (s1 + k, s2 + k, …, s12 + k),
T0(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6),
T1(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (1, 2, 4, 10, 3, 0, 3, 11, 8, 9, 6, 7),
T2(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (2, 3, 5, 11, 4, 1, 6, 0, 9, 10, 7, 8),
…
T7(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (7, 8, 10, 4, 9, 6, 11, 3, 2, 3, 0,1),
…
T12(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (11, 0, 2, 8, 1, 10, 3, 9, 6, 7, 4, 5).
После 11 счет снова начинается с 0, точно так же как мы считаем часы: 8 часов утра плюс 7 часов равно 3 часам дня. В математике подобные операции на ограниченных множествах чисел называются модулярной арифметикой. В случае с додекафоническими сериями множество чисел имеет всего 12 элементов в интервале от 0 до 11. Число элементов множества называется модулем (в нашем случае модуль равен 12). В арифметике по модулю 12 число 13 эквивалентно числу 1. Записывается это так:
13
Все числа вида 12k + 1, где k — целое, эквивалентны 1:
25
37
49
