Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Математика » Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - Альберти Микель (серии книг читать онлайн бесплатно полностью txt) 📗

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - Альберти Микель (серии книг читать онлайн бесплатно полностью txt) 📗

Тут можно читать бесплатно Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - Альберти Микель (серии книг читать онлайн бесплатно полностью txt) 📗. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:
Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _115.jpg

Обозначив радиусы окружностей через и r, искомое расстояние — через d и применив теорему Пифагора, имеем:

(R — r)2 + d2 = (R + r)2 => d = √(R·r)

Интерес вызывает не задача сама по себе, а ее связь с пифагоровыми тройками.

Тройка целых чисел называется пифагоровой, если эти числа удовлетворяют теореме Пифагора, то есть квадрат одного из них равен сумме квадратов двух других. К примеру, пифагоровыми являются тройки (3, 4, 3), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и (119, 120, 169). Пифагорова тройка называется примитивной, если два меньших числа в ней взаимно простые. Примитивными являются тройки (3, 4, 3), (5, 12, 13) и (119, 120, 169), но не (6, 8, 10), так как 6 и 8 — четные числа.

В еще одной задаче из книги Садасуке требуется доказать, что тройка чисел (а, b, с) пифагорова, если p и одновременно не являются нечетными и удовлетворяют следующим соотношениям:

а = 2pq

b = p2q2

c = p2 + q2.

Значение а очень похоже на ответ к предыдущей геометрической задаче. Чтобы значение а было ответом к предыдущей задаче, необходимо, чтобы квадратные корни радиусов R и r были целыми числами. Допустим, что это в самом деле так: R = р2, r = q2. Предположим, что разность R — r равна другому целому числу, s.

Тогда следующая тройка чисел будет примитивной пифагоровой тройкой:

2pq = d

р2q2 = R — r

p2 + q2 = R + r.

Таким образом, алгебраическая задача о пифагоровых тройках эквивалентна геометрической. По всей видимости, таков традиционный японский метод определения примитивных пифагоровых троек. Наконец, еще в одной задаче требуется найти все примитивные пифагоровы тройки для радиуса r <= 41. Решения этой задачи таковы:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (20, 21, 29), (9, 40, 41).

Если мы построим между двумя описанными выше окружностями еще одну, то получим интересную задачу — она приводится в сайгаку 1873 года, подвешенной на алтаре Катаямахико в префектуре Окаяма. Каким отношением связаны радиусы трех окружностей, касающихся друг друга и прямой, на которую они опираются?

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _117.jpg

И вновь к решению нас приведет теорема Пифагора. Пусть радиусы окружностей удовлетворяют соотношению r1 > r2r3 которое мы узнаем, применив теорему Пифагора. Для этого выделим треугольник, образованный вершинами окружностей и радиусами, которые проведены к общей касательной к окружностям.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _118.jpg

Мы получим новые прямоугольные треугольники, в которых можно применить теорему Пифагора. Обозначив через d1 и d2 основания прямоугольных треугольников с гипотенузами r1 + r3 и r2 r3 получим:

(r1+ r2)2 = (r1 — r2)2 + (d1 + d2)2

(r1+ r3)2 = (r1 — r3)2 + d12

(r2 + r3)2 = d22 + (r2 — r3)2

Выразив d1 и d2 из второго и третьего равенства и подставив полученные выражения в первое равенство, имеем:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _119.jpg

Полученное соотношение является двойственным к теореме Пифагора, что можно заметить, записав квадратные корни как степени с дробным показателем:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _120.jpg

Как найти значения трех радиусов, удовлетворяющих этому соотношению?

Имеет ли задача тройки целых или рациональных решений? Если мы рассмотрим числа, обратные квадратам натуральных чисел, то получим окружности, обладающие следующими свойствами:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _121.jpg

Они будут иметь вид, представленный на рисунке.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _122.jpg
Божественные розы

Соприкасающиеся окружности стали источником вдохновения не только для средневековых японских монахов и самураев, но и для архитекторов европейских готических соборов. Эта композиция, в которой главная роль отведена кругу, представляет собой символ христианства той эпохи. Важнейший элемент художественной выразительности в готике — роза и различные решетки. Их узоры представляют собой огромный круг диаметром несколько метров, в который вписаны другие круги и ряды окружностей. В большинстве случаев все эти фигуры соприкасаются между собой, а также касаются большого круга. Роза в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне составлена из кругов, куда вписаны четыре соприкасающихся круга, которые также касаются круга, описанного вокруг них.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _123.jpg

Фрагмент розы в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне.

Все элементы этих геометрических роз имеют свое символическое значение. Оригинальные рисунки и витражи соборов на протяжении веков не раз реставрировались, и лучше всего дух оригинала удалось сохранить в Шартрском соборе и соборе Парижской Богоматери. Женское начало традиционно связывается с ночью, Луной, прошлым и оттенками синего цвета. В Шартрском соборе женское начало представлено в розе на северном фасаде, в центре которой изображена дева Мария. Мужское начало, напротив, связывается с южной стороной, Солнцем, настоящим, желтым и красным оттенками. Именно поэтому изображение Христа в Царствии Небесном расположено в центре розы на южном фасаде собора.

Геометрия также составляет основу символических изображений персонажей.

Подобие форм или пропорции указывают на связи между деталями изображений, в которых каждый элемент играет свою роль. Не случайно и то, что розы делятся на 6, 8, 12, 16 или 24 круговых сектора или же представляют собой последовательность концентрических окружностей.

В испанском городе Сабадель в провинции Барселона есть мастерская, которая занимается исключительно витражами в свинце. Сначала мастера выполняют рисунок на бумаге в масштабе 1:10, а затем изготавливают витраж в натуральную величину. Раньше переход от чертежей к витражам выполнялся на глаз и при помощи пантографа, но сегодня в этом процессе используются новые технологии. Проектор позволяет воспроизвести выполненные на бумаге непрозрачные фигуры в натуральную величину на другой плоской поверхности.

Чтобы придать витражам желаемую форму, между соседними стеклами нужно оставлять зазор в 1,2 мм. Вместо того чтобы проводить линию с нужным зазором параллельно контурам фигуры, мастера используют ножницы с тройным лезвием, и необходимый зазор получается автоматически.

Перейти на страницу:

Альберти Микель читать все книги автора по порядку

Альберти Микель - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света отзывы

Отзывы читателей о книге Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света, автор: Альберти Микель. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*