В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович (электронные книги без регистрации .TXT) 📗
Забегая вперед, можно сообщить, что аксиоматика геометрии Лобачевского отличается от евклидовой лишь последней аксиомой. Все остальные аксиомы обеих геометрий совпадают.
Глава 4
Эпоха доказательств. Начало
Начнем с краткого списка имен. Проблему параллельных пробовали разрешить Аристотель, Посидоний, Птолемей, Прокл, Симплиций, Аганис — в античном мире; ал-Хазин, ат-Гуси аш-Шанни, ан-Найризи, Омар Хаййам, Ибн ал-Хайсан, Насир эд-Дин — на Востоке.
Клавий, Валлис, Лейбниц, Декарт, Плейфер, Лагранж, Саккери, Лежандр, Ламберт, Бертран, Фурье, Ампер, Даламбер, Швейкарт, Тауринус, Якоби — в Европе.
И еще несколько десятков известных и несколько тысяч безвестных математиков.
За счет проблемы пятого постулата можно было бы заполнить солидную психиатрическую клинику.
Это отнюдь не преувеличение. Многие люди тщетно тратили на попытки доказательства всю свою жизнь, приходя к мистическому ужасу либо к психическому заболеванию.
Одно из самых неожиданных свидетельств исключительной популярности этой проблемы — некое замечание Фомы Аквинского.
Фома был одним из крупнейших теологов христианского мира. В одном своем исследовании ему понадобилось почему-то решить сложнейшую проблему: «Что недоступно богу?»
Он указывает ряд вещей этого класса.
Бог не может, по Фоме Аквинскому, грубо нарушать основные законы природы. Пример: он не может превратить человека в осла. (Надо заметить, что многие каждодневно и самостоятельно решают эту проблему без помощи божественного промысла.)
Далее: бог не может уставать, гневаться, печалиться, лишить человека души и тому подобное.
В этом списке есть и такой пункт. Бог не может сделать сумму углов треугольника меньше двух прямых.
Я почти убежден, что пример этот не случаен. Фома Аквинский мог выбрать любую другую и значительно более очевидную теорему. Очень вероятно, что именно эту он взял потому, что были ему известны и тщетные попытки доказать пятый постулат и то, что утверждение: сумма углов треугольника равна двум прямым — эквивалентно пятому постулату.
Обычно полагают, что эта теорема стала известна в Европе в XVIII столетии. Фома Аквинский жил в XIII.
Но надо сказать, что арабские математики основательно исследовали задачу о параллельных и, в частности, получили и этот результат.
В раннем средневековье могли быть известны многие работы, бесследно затерянные позже.
В наше время трудно понять, сколь безнадежно запутанной представлялась вся теория параллельных до Лобачевского.
Сейчас любой хороший студент-математик максимум за две-три недели спокойной, нормальной работы докажет теорему: если сумма углов треугольника равна π, то справедлив пятый постулат.
Докажет, даже если практически совершенно незнаком с неевклидовой геометрией и, следовательно, формально находится в том же положении, что геометры прошлого.
Еще в XVIII веке эта теорема считалась, и действительно была, крупнейшим достижением науки. Я вовсе не хочу защищать бесспорно приятный тезис: «Люди стали умней, талантливей». Дело не в этом. Просто в научной работе уверенность в конечном результате, твердое знание, что ты на правильном пути, оказывается фактором почти решающим.
Кто-то из американских физиков в свое время заметил, что как только была взорвана атомная бомба, секрет ее производства перестал быть секретом. И если это замечание, возможно, несколько преувеличено, в принципе оно справедливо.
Впрочем, полагаю, любой читатель не раз замечал, насколько проще решать задачу либо доказывать теорему, если ее ответ известен заранее.
А во всей проблеме параллельных нужна лишь одна руководящая идея: «Пятый постулат Евклида независим от остальных». Стоит знать, что это так, и любой математик наших дней легко повторит большинство результатов Лобачевского за сравнительно небольшой срок. Но останется рядовым математиком. Просто он знает: «копать надо здесь». И это решает почти все.
В подтверждение я приведу один пример, убедительный, вероятно, для любого умеющего играть в шахматы. В журналах очень часто печатают позиции из партий гроссмейстеров с предложением найти за белых выигрывающий ход. Обычно в такой позиции надо найти красивую комбинацию. Любой перворазрядник, напряженно продумав полчаса-час, решит не менее девяноста процентов задач этого сорта. Вместе с тем в девяноста случаях из ста он не заметил бы этой комбинации, случись она у него в практической партии.
Этими замечаниями я хотел бы предупредить возможность появления нелепого чувства превосходства перед математиками прошлых эпох. Действительно, подавляющее большинство теорем, связанных с доказательствами пятого постулата, совершенно элементарно по своей логике. Они доступны для учеников 8–9-го классов.
И логические ошибки авторов, полагавших, что они доказали пятый постулат, также часто очень элементарны. Но эта элементарность видна сейчас. Точно так же уже через двадцать лет некоторые из проблем, над которыми бьются ученые в наши дни, покажутся до смешного простыми и наивными. Особенно часто так бывает с физиками.
После изрядной дозы общих рассуждений пора вернуться к пятому постулату.
Я уже не раз говорил (и прошу прощения у читателей — еще не раз буду повторять), что все попытки доказательств стимулировались, по существу, единственной причиной: он не «смотрелся», как говорят художники.
Он возмущал эстетические чувства ученых своей сложностью. И в древней Греции, и в Персии, и в Европе реакция была единодушна.
Поглядите, как прелестно негодует один из величайших математиков арабского мира, Омар Хаййам.
«…Евклид считал, что причиной пересечения прямых является то, что два угла (внутренние односторонние углы. — В. С.) меньше двух прямых.
Считая так, он был прав, но это может быть доказано только при помощи дополнительных рассуждений. (Хаййам думал, что он доказал пятый постулат. — В. С.) …Евклид же принимал эту предпосылку и основывался на ней без доказательства. Клянусь жизнью… здесь необходима помощь разума, и это его (то есть разума, а не Евклида. — В. С.) право…
Как Евклид позволил себе поместить это утверждение во введении (имеется в виду — выбрать как аксиому. — B. C.) в то время, как он доказывал гораздо более простые факты…»
Посмотрим же, как велась борьба с пятым постулатом. Было три канонических пути.
1. Открыто и явно предлагался какой-либо постулат, эквивалентный Евклидову. Эти авторы образуют «скромное», или «пессимистическое» направление.
2. Доказательство от противного (reductio ad absurdum) — один из самых изящных и мощных логических методов решения математических задач. Здесь новых постулатов не вводили.
Формулировалась теорема, противоположная по своему смыслу пятому постулату либо какому-нибудь его эквиваленту, а далее начинали развивать разнообразные следствия в надежде, что рано или поздно придут к какому-нибудь противоречию. Если оно будет получено, то тем самым доказывается, что пятый постулат вытекает из остальных аксиом, — и задача решена.
Это направление «самонадеянное» или «оптимистическое».
3. Наконец, группа «эклектиков».
Они доказывали какую-либо теорему, эквивалентную пятому постулату. Доказывали, используя неявно и незаметно для себя какой-либо другой эквивалент постулата Евклида.
Тяжелее всех было «на направлении № 2» — «оптимистам». Они все дальше и дальше тянули цепочку своих теорем, все больше и больше запутывались в следствиях, так и не находя противоречия.
