Mybrary.info
mybrary.info » Книги » Научно-образовательная » Математика » Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - Ибаньес Рауль (читаемые книги читать онлайн бесплатно полные TXT) 📗

Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - Ибаньес Рауль (читаемые книги читать онлайн бесплатно полные TXT) 📗

Тут можно читать бесплатно Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - Ибаньес Рауль (читаемые книги читать онлайн бесплатно полные TXT) 📗. Жанр: Математика. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте mybrary.info (MYBRARY) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Перейти на страницу:
Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - _29.jpg

Поверхности в пространстве — это геометрические объекты, которые могут быть локально описаны двумя координатами U и V, называемыми локальными координатами. Локальная карта (Т) является телескопом, через который математик наблюдает (получается двумерное изображение) конкретную область изучаемого объекта.

В упомянутой работе Гаусс ввел понятие ориентации поверхности и связанного с ориентацией поля нормальных векторов, содержащего векторы, перпендикулярные к поверхности в каждой ее точке, что стало основным инструментом для измерения кривизны поверхности. Эти инструменты позволили определить два вида кривизны поверхности, известные сегодня как кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н. Гаусс показал, что, вопреки определению, кривизна К зависит только от внутренней геометрии поверхности, доказав основную теорему теории поверхностей, так называемую Theorema Egregium. Он также определил другие основные элементы внутренней геометрии, в частности, геодезические линии как кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Им же были получены интересные результаты, следующие из внутренней геометрии, такие как отношение между углами геодезического треугольника и его кривизной.

Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - _30.jpg

Формула показывает, что разность между 180° (или π радиан) и суммой углов геодезического треугольника зависит от кривизны Гаусса.

Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - _31.jpg

Если взять полоску бумаги и соединить ее два конца, то получится лента с двумя поверхностями — внешней и внутренней, то есть двухсторонняя. Но если мы развернем один конец бумаги при склеивании, то получится лист Мёбиуса, который является односторонней поверхностью. Чтобы проверить это, достаточно провести карандашом линию по ленте и убедиться, что линия вернется в начало, пройдя по всей ленте. Эта лента имеет только одну сторону.

* * *

ИОГАНН КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)

Гаусс, несомненно, один из самых выдающихся математиков всех времен. Еще ребенком он показал исключительный талант к математике, поэтому, несмотря на скромное происхождение юного гения, его обучение было профинансировано герцогом Вильгельмом Фердинандом. Так, в 1795 г. Гаусс начал изучать математику в университете Гёттингена. В возрасте 19 лет он решил одну из классических задач геометрии, показав, что правильный 17-сторонний многоугольник можно построить с помощью линейки и циркуля. Это была первая запись в его знаменитом научном дневнике, в который он заносил короткие заметки о своих самых важных открытиях. В 21 год он написал свой важнейший труд «Арифметические исследования». Гаусс стал известен всей Европе, когда с помощью вычислений определил орбиту астероида Цереры, используя свой метод наименьших квадратов. В 1807 г. он возглавил кафедру астрономии в Гёттингенском университете и был назначен директором обсерватории. Он сделал открытия во многих областях математики, в том числе в алгебре, теории чисел, дифференциальной геометрии, неевклидовой геометрии, математическом анализе, геодезии, астрономии, теории ошибок, а также в области физики, магнетизма, оптики и электричества. После его смерти король Ганновера Георг V назвал его принцем математики и распорядился выпустить памятную медаль в честь Гаусса.

Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - _32.jpg

Карикатура на Гаусса авторства Энрике Моренте.

Внутренние и внешние геометрии

В чем различие между внутренней и внешней геометрией поверхности? Внутренняя геометрия — это геометрия самой поверхности, которую могли бы описать существа, живущие на этой поверхности. Гаусс в письмах к своим коллегам упоминал гипотетическую моль, живущую в двумерном пространстве. Theorema Egregium, основная теорема теории поверхностей, утверждает, что гауссова кривизна определяется геометрией, которая присуща самой поверхности. Эта величина характеризует внутреннюю кривизну поверхности. Внешняя же геометрия отражает связь между поверхностью и внешним трехмерным пространством и определяет среднюю кривизну линий на поверхности.

Локально внутренние геометрии плоскости и цилиндра одинаковы, так как обе имеют гауссову кривизну, равную нулю. Если взять лист бумаги и соединить два противоположных конца, то получится цилиндр. Этот небольшой эксперимент изменяет геометрию (метрику) поверхности. Обе поверхности внутренне плоские, и существа, живущие на них, не смогли бы отличить одну от другой, если бы они не могли посмотреть на них снаружи. Вместе с этим в трехмерном пространстве плоскость не искривлена (ее средняя кривизна равна нулю), а цилиндр, средняя кривизна которого является положительным постоянным числом, искривлен.

Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - _33.jpg

Плоскость (К = 0, Н = 0); цилиндр радиуса r (К = 0, Н = 1/r > 0); сфера радиуса r(К = Н = 1/r2 > 0).

Заметим, что внутренняя геометрия сферы, гауссова кривизна которой постоянна и положительна, отличается от внутренней геометрии плоскости. Вот почему жители сферы могут понять, что они живут на искривленной поверхности, не выходя за ее пределы. Это можно сделать, проверив, что сумма углов геодезического треугольника больше 180°. Гаусс пытался доказать это для поверхности Земли, но погрешность его измерений была слишком велика. Важным следствием этого является невозможность построения правильных карт поверхности Земли, сохраняющих геометрию (расстояния, кратчайшие пути, площади и направления). Более того, для большинства поверхностей значение гауссовой кривизны варьируется от точки к точке.

Примером может служить поверхность тора (или бублика), которая имеет точки с положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизной (внешние, внутренние и граничные точки поверхности тора соответственно).

Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - _34.jpg

Точки поверхности тора выделены разным цветом в зависимости от кривизны — положительной, нулевой или отрицательной.

* * *

МОДЕЛИ ГЕОМЕТРИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

Чтобы построить модель неевклидовой геометрии, надо представить пространство в виде поверхности, а геодезические линии на ней (кратчайшие расстояния между двумя точками) назвать прямыми линиями. Дифференциальная геометрия помогает определить, на каких поверхностях справедливы постулаты Евклида. Такие поверхности должны быть геодезически полными (геодезические линии неограниченны), чтобы выполнялись постулаты 1 и 2, и иметь постоянную гауссову кривизну К для выполнения постулатов 3 и 4. Таким образом, если К = 0, то справедлива евклидова геометрия на плоскости. Если К > 0, то мы имеем модель эллиптической геометрии (например, на сфере) с гипотезой тупых углов. В этом случае первый постулат не выполняется, так как через диаметрально противоположные точки проходит бесконечное количество геодезических линий. Диаметрально противоположные точки сферы можно отождествить, но тогда получится абстрактная поверхность вне трехмерного евклидова пространства. Если К < 0, то мы имеем модель гиперболической геометрии (псевдосферу) с гипотезой острых углов. Эта модель тоже не является геодезически полной, и, следовательно, ее тоже приходится обобщать до абстрактной поверхности вне трехмерного евклидова пространства.

Перейти на страницу:

Ибаньес Рауль читать все книги автора по порядку

Ибаньес Рауль - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки mybrary.info.


Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? отзывы

Отзывы читателей о книге Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?, автор: Ибаньес Рауль. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Уважаемые читатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.

  • 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
  • 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
  • 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
  • 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.

Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор mybrary.info.


Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*