ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда - Хофштадтер Даглас Р. (читать полные книги онлайн бесплатно .txt) 📗
С того дня и в течение почти трехсот лет математики безуспешно пытаются сделать одно из двух: либо доказать утверждение Ферма и таким образом очистить его репутацию, в последнее время слегка подпорченную скептиками, не верящими, что он действительно нашел доказательство — либо опровергнуть его утверждение, найдя контрпример: множество четырех целых чисел а, b, с, и n, где n > 2, которое удовлетворяло бы этому уравнению. До недавнего времени все попытки в любом из этих двух направлений проваливались. Точнее, теорема доказана лишь для определенных значений n — в частности, для всех n до 125 000.
Ахилл: Не лучше ли тогда называть это Гипотезой вместо Теоремы, поскольку настоящее доказательство еще не найдено?
Ахилл: Строго говоря, вы правы, но по традиции это зовется именно так.
Краб: Удалось ли кому-нибудь в конце концов разрешить этот знаменитый вопрос?
Ахилл: Представьте себе, да: это сделала г-жа Черепаха, как всегда, в момент гениального озарения. Она не только нашла ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Последней Теоремы Ферма (оправдав, таким образом, ее название и очистив репутацию Ферма), но и КОНТРПРИМЕР, показав, что интуиция скептиков их не подвела!
Краб: Вот это да! Поистине революционное открытие.
Муравьед: Прошу вас, не тяните: что это за магические числа, удовлетворяющие уравнению Ферма? Мне особенно любопытно узнать значение n.
Ахилл: Ах, какой ужас! Какой стыд! Верите ли, я оставил все выкладки дома на громаднейшем листе бумаги. К несчастью, он был слишком велик, чтобы принести его с собой. Хотел бы я, чтобы он был сейчас здесь и чтобы можно было вам все показать. Но кое-что я все же помню: величина n — единственное положительное число, которое нигде не встречается в непрерывной дроби числа π.
Краб: Какая жалость, что у вас нет с собой ваших записей. Так или иначе, у нас нет оснований сомневаться, что все, что вы нам сказали — чистая правда.
Муравьед: Да и кому, в конце концов, нужно видеть n в десятичной записи? Ахилл же объяснил нам, как найти это число. Что ж, г-жа Черепаха, примите мои сердечные поздравления по поводу вашего эпохального открытия!
Черепаха: Благодарю вас. Однако практическая польза, которую немедленно принес мой результат, кажется мне еще важнее теоретического открытия.
Краб: Смерть как хочется услышать об этом — ведь я всегда считал, что теория чисел — Царица Чистой Математики, единственная ветвь математики, не имеющая НИКАКОГО практического приложения.
Черепаха: Вы не единственный, кто так думает; однако на деле почти невозможно предсказать, когда и каким образом какая-либо ветвь чистой математики — или даже какая-либо индивидуальная Теорема — повлияет на другие науки. Это происходит совершенно неожиданно, и данный случай — хороший тому пример.
Ахилл: Обоюдоострый результат г-жи Черепахи прорубил дверь в область акусто-поиска.
Муравьед: Что такое акусто-поиск?
Ахилл: Название говорит само за себя: это поиск и извлечение акустической информации из сложных источников. Например, типичная задача акусто-поиска — восстановить звук, произведенный упавшим в воду камнем, по форме расходящихся по воде кругов.
Краб: Но это невозможно!
Ахилл: Почему же? Это весьма похоже на то, что делает наш мозг, когда он восстанавливает звук, произведенный голосовыми связками другого человека, по колебаниям, переданным барабанной перепонкой далее по лабиринту ушной раковины.
Краб: Ясно. Но я все еще не вижу связи этого ни с теорией чисел, ни с моими новыми пластинками.
Ахилл: Видите ли, в математике акусто-поиска часто возникают вопросы, связанные с числом решений неких Диофантовых уравнений. А г-жа Ч годами занималась тем, что пыталась восстановить звуки игры Баха на клавесине (что происходило более двухсот лет тому назад), основываясь на расчетах движения всех молекул в атмосфере в настоящее время.
Муравьед: Но это же совершенно невозможно! Эти звуки утрачены навсегда, утеряны невозратимо!
Ахилл: Так думают непосвященные — но г-жа Ч посвятила много лет этой проблеме и пришла к выводу, что все зависит от количества решений уравнения:
а n+ b n = с n
в положительных числах, при n > 2.
Черепаха: Я могла бы объяснить, при чем здесь это уравнение, но не хочу наскучить присутствующим.
Ахилл: Оказалось, что теория акусто-поиска предсказывает, что звуки Баховского клавесина могут быть восстановлены по движению всех молекул атмосферы при одном из двух условий ЛИБО у этого уравнения есть хотя бы одно решение.
Краб: Удивительно!
Муравьед: Фантастика да и только!
Черепаха: Кто бы мог подумать!
Ахилл: Я хотел сказать, «ЛИБО такое решение существует, ЛИБО существует доказательство, что уравнение НЕ имеет решений!» Итак, г-жа Ч начала кропотливую работу с обоих концов проблемы одновременно Оказалось, что нахождение контрпримера было ключом к нахождению доказательства, так что одно прямо вело к другому.
Краб: Как же это возможно?
Черепаха: Видите ли, мне удалось показать, что структуру любого доказательства Последней Теоремы Ферма — если таковое существует — возможно описать с помощью элегантной формулы, которая зависела бы от величин решения некоего уравнения. Когда я нашла это второе уравнение, к моему удивлению оно оказалось не чем иным как уравнением Ферма. Забавное случайное соотношение между формой и содержанием. Так что, когда я нашла контрпример, мне осталось только использовать эти числа как план для построения доказательства того, что это уравнение не имеет решения. Замечательно просто, если подумать. Не знаю, почему никто не нашел этого результата раньше.
Ахилл: В результате этого неожиданного блестящего математического успеха, г-же Ч удалось провести акусто-поиск о котором она столько лет мечтала. Подарок полученный м-ром Крабом представляет собой осязаемую реализацию этой абстрактной работы.
Краб: Не говорите мне пожалуйста что это запись Баха, играющего на клавесине собственные сочинения!
Ахилл: Сожалею, но приходится поскольку это именно она и есть! Это набор из двух записей Себастиана Баха исполняющего весь Хорошо Темперированный Клавир. На каждой пластинке записана одна из двух его частей, это значит что каждая запись состоит из 24 прелюдий и фуг по одной в каждом мажорном и минорном ключе.
Краб: В таком случае мы должны немедленно прослушать эти бесценные пластинки! Как я смогу вас отблагодарить?
Черепаха: Вы уже нас отблагодарили сполна этим превосходным чаем, который вы для нас приготовили.
(Краб вынимает одну из пластинок из конверта и ставит ее на свой патефон. Комната наполняется звуками потрясающей, мастерской игры на клавесине, при этом качество записи самое высокое, какое можно вообразить. Можно даже разобрать — или это только воображение слушателя? — тихий голос Баха, подпевающего собственной игре)
Краб: Хотите следить по нотам? У меня есть уникальное издание Хорошо Темперированною Клавира, проиллюстрированное одним из моим учителей, который также был необыкновенным каллиграфом.
Черепаха: Это было бы чудесно.
(Краб подходит к элегантному книжному шкафу с застекленными дверцами, открывает его и достает два больших тома.)
Краб: Вот, пожалуйста, г-жа Черепаха. Я сам еще не видел всех прекрасных иллюстраций в этом издании, все никак клешни не доходят. Может быть, ваш подарок меня наконец на это подвигнет.
Черепаха: Надеюсь.
Муравьед: Вы заметили, что во всех этих произведениях прелюдия точно определяет настроение следующей фуги?
Краб: О, да. Хотя это трудно объяснить, но между ними всегда есть некая таинственная связь. Даже если у прелюдии и фуги нет общей музыкальной темы, в них всегда присутствует неуловимое абстрактное нечто, которое их прочно связывает.
