До предела чисел. Эйлер. Математический анализ - Коллектив авторов (книги читать бесплатно без регистрации полные txt) 📗

ПРИНЦЕССА И СИЛЛОГИЗМЫ

Эйлер написал принцессе Ангальт-Дессау, племяннице Фридриха, более 200 писем. В 1768 году они были собраны в один том под названием Lettres è une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie ("Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях·). И даже в таком, казалось бы, легком жанре Эйлеру удалось удивить современников. В некоторых письмах (102-105) он рассуждает о силлогизмах и, чтобы лучше объяснить свою мысль, прибегает к диаграммам, как на рисунках 1 и 2.

РИС. 1

РИС . 2

Они напоминают диаграммы Джона Венна (1834-1923), хотя отличаются по смыслу. То, что Венн изобразил бы в виде диаграммы на рисунке 3, для Эйлера было бы рисунком 4. Венн изображал фрагмент диаграммы, даже если он был пустым, в то время как Эйлер, не думавший об общей картине, не считал это возможным. Венн называл свои диаграммы не диаграммами Венна, как их обозначают сегодня, а диаграммами Эйлера, так что не требуется уточнять, кто был источником его вдохновения.

РИС.3

РИС. 4

Ученый также занимался теорией ошибок, которая, однако, стала полноценной теорией только после создания Гауссом метода наименьших квадратов. Необходимо помнить, что в то время погрешности в измерениях подсчитывались путем вывода их среднего арифметического. Положительные и отрицательные величины среди отклонений компенсировали друг друга, следовательно, невозможно было понять природу каждой отдельной ошибки и исправить ее.

ВТОРОСТЕПЕННЫЕ РАБОТЫ

В Пруссии Эйлер написал несколько работ, которые можно называть второстепенными, если сравнивать их с другими фундаментальными трудами из его обширного наследия. В 1744 году вышла книга о траектории планет и комет, Theoria motuum planetarum et cometarum ("Теория движения планет и комет"), а в 1746 году — трактат по оптике, в котором говорится о свете и цветах,— Nova theoria lucis et colorum ("Новая теория света и цветов"). Вслед за Христианом Гюйгенсом (1629-1695) Эйлер склонялся к волновой гипотезе, превалировавшей над корпускулярной вплоть до создания квантовой механики. В 1745 году был опубликован сделанный Эйлером перевод на немецкий язык книги New Principles of Gunnery ("Новые принципы артиллерийского искусства") Бенджамина Роббинса (1707-1751). Ученый сделал такое количество комментариев, исправлений и дополнений, что фактически написал книгу заново.

В 1765 году, когда Эйлер уже переезжал в Россию, в печать отправилась Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum ( "Теория движения твердых тел") — второй трактат по механике. Он стал улучшенным вариантом первого (в котором методы математического анализа впервые применялись в механике), поскольку в нем появились уравнения, впоследствии названные дифференциальными уравнениями движения твердого тела, подверженного действию внешних сил, и углы Эйлера, связанные с использованием систем координат, одна из которых неподвижна, а вторая привязана к движущемуся телу так, что его движение оказывается разложено на линейное и вращательное. Все специалисты подчеркивают оригинальность некоторых исследований, например изучения оси вращения обычной юлы, которое подводит к понятию нутации и прецессии равноденствий.

Мы уже говорили, что еще одной страстью Эйлера была картография. В течение нескольких лет ученый принимал участие в создании атласа России. В результате он был напечатан в 1745 году и состоял из 20 карт. Эйлер очень гордился этим достижением и утверждал, что благодаря этому атласу российская картография обогнала немецкую.

Тем не менее, несмотря на обширную деятельность ученого, нельзя думать, что все написанное им было верным. В работах Эйлера встречается неизбежный недостаток той эпохи — отсутствие точности в операциях и определениях. Многие его догадки справедливы не потому, что строго доказаны, а просто потому, что они работают. В XIX веке ученые потратили немало сил, чтобы дать основу дерзким предположениям Эйлера, определив такие понятия, как предел, сходимость или непрерывность, с помощью которых удалось залатать дыры в доказательствах многих его предположений. Математика стала скучнее, но точнее.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТРИЛОГИЯ: ВЕРШИНЫ АНАЛИЗА

Эйлер оставил след в огромном количестве самых разных областей знания и написал работы обо всем, что вызывало его интерес, однако для многих он стал в первую очередь отцом современного математического анализа, как если бы это было его основной заслугой. В предыдущем параграфе мы рассмотрели вклад Эйлера в вариационное исчисление. В последующие годы ученый — видимо, вдохновленный своим успехом — углубил и структурировал обширные знания по анализу в нескольких трактатах.

В 1748 году он опубликовал Introductio in analysin infinitorum ("Введение в анализ бесконечных"), шедевр в двух томах, который вместе с Instituciones calculi differentialis ("Дифференциальное исчисление") 1755 года и с трехтомным Instituciones calculi integralis ("Интегральное исчисление") 1768-1770 годов входит в непревзойденную по сей день научную трилогию. Появление этих работ разделило математику на до и после, особенно в области анализа. Франсуа Араго (1786-1853) назвал Эйлера "анализом, воплощенном в человеке", а историк математики Карл Бенджамин Бойер (1906-1976) ставил его работы в один ряд с трудами Евклида, Ньютона, Гаусса и Декарта и даже впереди их всех, поскольку они имеют большее педагогическое значение. Вот что пишет Бойер:

"Можно сказать, что Эйлер сделал с исчислением Ньютона и Лейбница то, что Евклид сделал с геометрией Евдокса или Ви- ет — с алгеброй Кардано и Аль-Хорезми. Эйлер взял дифференциальное исчисление Лейбница и метод Ньютона и поместил их в более общую область математики, которая с этого момента стала называться анализом, то есть изучением функций и бесконечных процессов".

Это изменение касалось не только содержания, но и математической символики. В качестве упражнения может быть полезно почитать эти книги и убедиться, что они понятны и сегодня. Клиффорд Трусделл (1919-2000), выдающийся американский физик, писал по этому поводу:

"Эйлер был первым ученым в западной цивилизации, кто стал писать о математике ясным и легким для чтения языком. Он объяснил своим современникам, что вычислению бесконечно малых величин может научиться, приложив небольшие старания, любой разумный человек. Он справедливо славился чистотой своего стиля и честностью, с которой обращался к читателю, когда испытывал трудности".

Некоторые разработки Эйлера в области анализа интересны только узким специалистам, и мы ограничимся их перечислением: это гипергеометрические ряды, гиперболические функции, дифференциальные уравнения, эллиптические функции и комплексные интегралы.

База, на которой основано одно из самых важных открытий, описанных в Introductio in analysin infinitorum,— это формула Муавра. Современный математик записал бы ее так:

(cosx + isinx)ⁿ = cosnx + isinnx.

Сам де Муавр записал ее в 1730 году в более сложном виде, но в соответствии с традицией того времени: