Когда приходит ответ - Вебер Юрий Германович (читать книги полные TXT) 📗
И убедился, что его алгебра и классическая логика не противоречат друг другу. Алгебра была в согласии с логикой. Логика подтверждала алгебру. Буль сдержал обещание, данное когда-то своему другу: перевести на язык математики, может быть, и фигуры силлогизма. Бог знает, каким путем это ему удавалось, — удивлялись позднейшие исследователи, — но ответы сходились.
И вот что еще заключалось в булевом методе, что не сразу удалось раскусить Мартьянову, и, конечно, не по книжке Буля, но что предстанет впоследствии перед ним во всем своем значении.
Буль показал, что всякое логическое выражение, обозначенное в символах, можно разложить на простейшие составные части. Смотрите, единица, то есть «весь мир речи», состоит из всех икс или всех не-икс, скажем, из всего «живое» или всего «не-живое». 1 = х+х1.
Так и любое логическое выражение можно представить состоящим из всех возможных комбинаций простейших понятий, входящих в это выражение, вместе с их отрицаниями. Видите, как опять запутанно звучит это в словах и как просто выглядит в переводе на язык алгебры.
Если выражение зависит от двух символов x и y, то разложение единицы будет выглядеть так:
1 = xy+xy1+x1y+x1y1.
Попробуйте-ка это выразить словами.
Буль назвал такие составные части по-английски — «конституенты». И вместе с ними перешел от обычных способов мышления, непосредственных и очевидных, к способам собственно алгебраическим, уже не столь явно связанных со смыслом, но тем не менее вполне логичным и достоверным. Умозрение уступило место вычислению.
Конституенты! Красивое, звучное слово. Оно еще скажет многое Мартьянову. А пока что постараемся его хотя бы не забыть.
Заканчивая последние страницы «Законов логики», Буль выразил в любимом греческом стихе свою надежду:
Он не ошибся: мысль будет искать. Вечно пытливая, беспокойная человеческая мысль. Вопреки всему, что захочет ее сковать, остановить.
7
Как-то в Казанском университете во время длинного и довольно бесполезного ученого совета в большом зале, где на заседавших хмуро глядел портрет Лобачевского, двое преподавателей, Васильев и Порецкий, пристроившись в сторонке, тихо переговаривались друг с другом на тему, не имеющую отношения ни к учебным планам, ни к проступкам студентов.
Васильев рассказывал: ему попалась в руки книжка. Английский автор. Буль по фамилии. Вероятно, столь же распространенное там, как у нас Иванов. Очень оригинальное сочинение. Своеобразное толкование алгебры. Логика по существу, математика по методу.
Он набрасывал значки на обороте визитной карточки и показывал собеседнику. Символы основных операций. Логическое сложение, умножение, отрицание. А также парадоксаль ные равенства, в которых икс плюс икс все равно икс, а икс помножить на икс также икс. Не правда ли, забавно? Нет коэффициентов, нет степеней.
— Как вам нравится?
Порецкий с любопытством засматривал в карточку. Как и другие, впервые встретившись с этим, он не мог все сразу переварить, но и не поспешил сказать: «Чушь!»
— Не откажите мне на память, — попросил он под конец беседы и сунул карточку в жилетный кармашек.
Внешне как будто ничто не изменилось после той беседы, состоявшейся в начале восьмидесятого года прошлого века. Штатный преподаватель и астроном-наблюдатель Казанского университета Платон Сергеевич Порецкий продолжал по-прежнему выполнять свои обязанности, учил студентов, глядел по ночам в трубу. Но он частенько заглядывал еще в один мир, пожалуй еще более призрачный и неясный, чем далекие туманности. В мир символической логики.
Он отыскивал все то немногое, что было ей посвящено. Читал самого Буля, восхищаясь его идеями и досадуя на его форму изложения. Знакомился с его комментаторами, которые очищали булевскую систему от сумбурности, отрабатывали более удобную символику, всячески перетряхивая его идеи и шлифуя математический аппарат, который он бросил в первозданном виде на суд всякого, кто пожелает. Под пером некоторых толкователей Буля восемьдесят страничек его книжки превращались иногда в многотомное сочинение, подавляющее своей крайней обстоятельностью и такой бесконечной цепью условных приемов, за которой и вовсе пропадал всякий смысл. Исчисление превращалось в эквилибристику. Порецкий не только изучал и анализировал накопленные премудрости — он искал свою, собственную точку зрения.
Два года прошло. Два года блужданий по лабиринтам символов. Наконец весной восемьдесят второго года, когда тронулся лед на Волге, тронулся и покров молчания над разысканиями Порецкого. Он объявил свой доклад в Обществе естествоиспытателей при Казанском университете.
Два вечера слушало ученое собрание то, что говорил им Порецкий «О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики».
У него был дар не только ясно мыслить, но и ясно излагать. Все туманности, облекавшие алгебру логики, рассеивались в свете его критического ума. И символические обозначения, и основные законы, и правила действия приобретали в его устах и под его мелком на доске четкую, простую форму. Казалось, даже жалко, что эта блистательная способность логического выражения должна быть втиснута в рамки бездушных формул. Но мысль человека тем и велика, что она сама себе ищет остроумную замену.
По правде говоря, только читая Порецкого, и начал Мартьянов что-то понимать в методе алгебры логики.
Порецкий говорил ученому собранию: формы алгебры — количественные, — а формы логики — качественные. Этим они существенно отличаются друг от друга. Но можно приспособить приемы алгебры так, что они будут вполне точно отражать и качественные отношения. И замечательно то, что для этой цели приходится не усложнять, а, наоборот, очень упрощать приемы алгебры. Алгебра логики проста, как ясный день.
Он говорил: ее приемы позволяют переводить словесные условия задачи в символическую форму, — составляются формулы. Но сила метода не столько в символических обозначениях, сколько в выборе правильных соотношений, действительно существующих в логике, — отношений, которые выражаются определенными операциями. Алгебра логики — алгебра отношений.
Он показывал, как можно выражать разные суждения в виде равенств. Например, «если не будет дождя, то мы отправимся в сад и будем там пить чай», — а на языке алгебры это всего лишь a1 = bc. И как, решая такие равенства, можно значительно облегчить тот мыслительный процесс, который именуется в классической логике качественным умозаключением. Опять-таки словесная форма переводится в форму математическую. Равенства можно между собой и складывать и перемножать. Заменять целую систему равенств одним равенством. Исключать отдельные классы из равенства. Определять один класс через все прочие… Словом, открывается путь ко всяким преобразованиям и упрощениям.
Преобразования и упрощения! Алгебра логики настойчиво предлагала эту возможность, которая, между прочим, больше всего и пленит когда-нибудь инженера Мартьянова.
Порецкий в своем докладе уверял, что применение правил преобразования логических равенств «может быть только приятным». Буль, помнится, говорил об удовольствии, хотя его книгу и упрекали в недостатке изящества. Кто же скажет, что эстетика — сфера не математическая?
Подчеркивал Порецкий и важность того, что выражения алгебры логики можно разлагать на элементарные составные части — атомы речи. Подобно тому, как алгебраические выражения разлагаются на простые сомножители. Звучное слово «конституенты» эхом прокатывалось по залу казанского собрания.
Собрание слушало и… не знало, как ко всему этому отнестись. Забавное увлечение или заявка новой науки?
