Занимательная математика - Гамов Георгий (читаем книги онлайн txt) 📗

— Я тебя понял, — кивнул султан. — Ты хочешь сказать, что можешь повесить Абдула только в один из дней с воскресенья по четверг и что Абдул не может не понимать этого?

— Безусловно, — с уверенностью ответил визирь.

— Но коль скоро это так, — продолжал султан, — и четверг становится последним днем недели, когда может свершиться казнь, то не можем ли мы, продолжив то же самое рассуждение, исключить и четверг?

— Разумеется, можем, — воскликнул начальник тюрьмы. — Тогда последним днем недели, когда может свершиться казнь, станет среда, которую в свою очередь также придется исключить, и так станет с любым из остальных дней недели. Следовательно, привести смертный приговор Абдулу в исполнение невозможно!

Поистине мы имеем дело с применением принципа конечной индукции. То, что мы действительно доказали, сводится к следующему: в последний из дней недели, в который можно казнить Абдула, казнить Абдула автоматически становится невозможным.

— Ты прав, — смеясь, подтвердил султан. — А из доказанного следует, что осужденного невозможно казнить врасплох не только в течение недели, не и в течение любого конечного числа дней. Какое счастье, однако, что и ты, и Абдул обладаете одинаково острым разумом. Если любой из вас не понял, к чему приводит принцип конечной индукции, то он не сработал бы на практике.

Второе испытание Абдула [4]

Едва успев благополучно выпутаться из предыдущей истории, Абдул снова попал в беду. На этот раз его обвинили в торговле рабынями на черном рынке, недавно строжайше запрещенной султаном ибн-аль-Казом. На этот раз Абдул предстал перед судом присяжных — новинкой, введенной просвещенным властителем Квазиабабии, стремившимся превратить свою страну в современное государство. При вынесении вердикта мнения присяжных, шести мужчин и шести женщин, разделились: все шесть женщин сочли Абдулу виновным и потребовали для него смертной казни, а все шесть мужчин склонились к мнению «невиновен».

Выслушав присяжных, судья вынес решение, что судьбу Абдула — жить ему или умереть — должен решить с равными шансами на жизнь и на смерть случай — шар, извлекаемый наугад из урны. Для вынесения приговора столь необычным методом в суд были доставлены две большие урны с двадцатью пятью белыми и двадцатью пятью черными шарами в каждой. Подсудимому должны были завязать глаза, предложить вытянуть руки и, выбрав наугад одну из урн, извлечь из нее шар. Черный шар означал смерть, белый — жизнь. Урны долго переставляли, а шары тщательно перемешали.

— О великий судья, — воскликнул Абдул, падая на колени перед скамьей, на которой восседал судья. — Молю тебя исполнить мою последнюю просьбу. Позволь перед тем, как мне завяжут глаза, по-своему переложить шары из урны в урну. После этого я готов вслепую выбрать урну и извлечь из нее шар.

— Может ли это увеличить шанс преступника избежать наказания о великий визирь? — почтительно обратился судья к сидевшему с ним рядом визирю.

— Не думаю, — ответствовал визирь, считавший себя большим знатоком по части математических проблем. — Всего имеется пятьдесят черных шаров и пятьдесят белых шаров, а поскольку подсудимый будет извлекать шар вслепую, шансы извлечь черный или белый шар остаются прежними, как бы он ни перекладывал шары из урны в урну или ни распределял шары по любому числу урн.

— В таком случае, — решил судья, — раз перекладывание шаров ничего не меняет, почему бы нам не исполнить последнюю просьбу подсудимого? Это следует сделать хотя бы для того, чтобы продемонстрировать нашему великому султану, что вновь назначенный им суд в соответствии с пожеланиями нашего владыки придерживается либеральных тенденций при вынесении приговоров.

— Будь по-твоему, — разрешил судья Абдулу, все еще стоявшему перед ним на коленях. — Можешь перекладывать шар, как сочтешь нужным.

Поднявшись с колен и подойдя к столу, на котором стояли урны, Абдул приступил к делу. Сначала он пересыпал все шары из одной урны в другую, а затем, выбрав один белый шар, переложил его в первую (пустую) урну. Эта нехитрая операция повысила его шансы остаться в живых с 50 % почти до 75 %. После того как ему завязали глаза, он с вероятностью 50 % мог выбрать урну с одним белым шаром, а если бы он выбрал другую («не ту») урну, то у него все же было бы 49 из 99 шансов (т. е. почти 50 %) извлечь из нее не черный, а белый шар.

История умалчивает о том, позволило ли Абдулу такое увеличение благоприятных шансов спасти свою жизнь.

Скачки наоборот

Однажды в солнечный день (как, впрочем, все дни в той части земного шара) один англичанин сидел на камне посреди пустыни во владениях султана ибн-аль-Каза. Он умирал от скуки, так как делать ему было абсолютно нечего, хотя денег у него в карманах было достаточно для того, чтобы заплатить за любое развлечение. И когда англичанин к великому своему удовольствию увидел проезжавших мимо верховых бедуинов, он знаком попросил их приблизиться.

— Друзья, — обратился к бедуинам англичанин, показывая им сверкающую на солнце золотую гинею, — не окажите ли вы мне любезность проскакать вон до той пальмы. Тот, чья лошадь придет последней, получит в награду эту золотую монету.

— Чья лошадь придет последней? — воскликнули бедуины, которые оба знали английский.

— Именно! И понимаю, что условие состязания необычно, но такова моя прихоть. А теперь — внимание, на старт, марш!

Желая получить в награду золотую гинею, бедуины пустились было к видневшейся вдалеке пальме, но поскольку каждый из них стремился сдержать свою лошадь, оба всадника почти не двигались с места. Когда оба бедуина уже были готовы отказаться от участия в состязании, перед ними внезапно возник дервиш. Оба всадника спрыгнули с коней и распростерлись перед ним на горячем песке пустыни.

— Что вас тревожит, дети мои? — спросил дервиш низким голосом. И бедуины объяснили ему необычное условие скачек.

— Может быть, нам нужно разделить приз между собой или условиться, что тот, кто выиграет скачку, если его лошадь придет последней, отдаст золотую гинею другому, — предложил один из бедуинов.

— О нет! — возразил дервиш. — Нужно быть честным во всех своих деяниях, даже если речь идет об уговорах с англичанами. Вам нужно просто… — и дервиш прошептал свой совет бедуинам.

— Да благословит тебя Аллах! — воскликнули бедуины, вскочили в седла и пришпорили лошадей.

Быстрее ветра они понеслись к пальме. Судьба скачек была решена в считанные минуты, и англичанину пришлось уплатить гинею победителю. Что посоветовал дервиш бедуинам?

Дервиш дал бедуинам очень простой совет: поменяться лошадьми.

2. Сэм-Игрок

Карточки в шляпе

Объяснить в два слова, кто таком Сэм-Игрок, проще всего, назвав его «живым компьютером».

Способность Сэма честно зарабатывать свой хлеб основана на его непостижимой способности оценивать шансы на выигрыш и проигрыш в любой азартной игре, которая когда-либо была изобретена человеком. Разумеется, умение Сэма молниеносно подсчитывать шансы «за» и «против» целиком опирается на его замечательную память и отнюдь не свидетельствует о его аналитических способностях.

Другая отличительная черта Сэма-Игрока — его доброе отзывчивое сердце. Матери Сэма-младшего Сэм-старший дал слово, что сын вырастет уважаемым человеком. И Сэм-Игрок сдержал свое обещание. Он рассудил, что Сэм-младший должен хотя бы частично унаследовать способности отца просчитывать комбинации. А что, скажите на милость, в наши дни может пользоваться большим уважением, чем математик, способный производить сложнейшие расчеты?