Занимательная математика - Гамов Георгий (читаем книги онлайн txt) 📗

— Вы правы, но скорость лодки относительно воды не имеет отношения к задаче, и я не просил найти ее. Трудность, с который вы столкнулись, пытаясь решить задачу алгебраически, связана с тем, что вы пытались найти две неизвестные величины, располагая лишь одним уравнением. В действительности вторая неизвестная величина выпадает, но уравнение выглядело таким сложным, что вы этого не заметили.

Джин и тоник

— А вот еще одна задачка для вас, — произнес один из яхтсменов, потягивая джин с тоником. — Предположим, что перед вами два бокала, наполненные вровень один неразбавленным джином, другой — чистым тоником. Вы отливаете в мерный стаканчик джин из первого бокала и переливаете его во второй бокал, хорошенько перемешиваете содержимое второго бокала, после чего наполняете смесью мерный стаканчик и переливаете смесь в первый бокал.

Вопрос заключается в следующем. Чего больше: джина в бокале с тоником или тоника в бокале с джином?

— Разумеется, больше джина в стакане с тоником, — заметил другой яхтсмен, — ведь вы налили в бокал с тоником мерный стаканчик неразбавленного джина, а влили в бокал с джином мерный стаканчик смеси тоника с джином.

— Насколько я могу судить, вы совершенно уверены в этом, но вынужден вас разочаровать: ваш ответ совершенно неверен. Подумайте сами. Вы переливаете мерный стаканчик жидкости из первого бокала во второй, а затем мерный стаканчик жидкости возвращаете из второго бокала в первый. Так как первоначально оба бокала были налиты вровень, они остаются налитыми вровень и после переливаний. Это означает, что джин, отлитый из первого бокала, восполнен тоником из второго бокала и находится во втором бокале, восполняя убыль тоника. Следовательно, джина в бокале с тоником ровно столько же, сколько тоника — в бокале с джином.

— Признаться, я все еще не понимаю.

— О'кей. Попробуем разобраться во всем с числами. Предположим, что в каждом из бокалов первоначально содержалось по 3 унции жидкости [13] и что мерный стаканчик вмещает 1 унцию жидкости. Вы берете треть джина, или 1 его унцию, и переливаете в бокал с тоником, в котором в результате оказывается 4 унции жидкости. Во втором бокале теперь содержится три четверти тоника и одна четверть джина. Вы тщательно перемешиваете содержимое второго бокала и отливаете из него в мерный стаканчик 1 унцию смеси. Эта смесь содержит три четверти тоника и одну четверть джина. После того как вы переливаете мерный стаканчик такой смеси в первый бокал, баланс по количеству жидкости восстанавливается, но теперь у вас в первом бокале 2 1/4 унции джина и 3/4 унции тоника. А оставшиеся в бокале с тоником 3/4 унции джина заменяют перелитые в бокал с джином 3/4 унции тоника. Понятно?

Если бы было так, как думали вы, и джина во втором бокале после двух переливаний оказалось больше, чем тоника в бокале с джином, то это означало бы, что общее количество джина увеличилось, а общее количество тоника — уменьшилось. Неплохой способ превращать воду в вино!

Баржа в шлюзе

— Вернемся к задачам, связанным с водной стихией, — вмешался в разговор еще один яхтсмен. — Вот одна неплохая задачка для вас. Я задавал ее в свое время нескольким физикам, и ни один из них не смог правильно решить ее. Баржа с грузом металлолома на борту вошла в шлюз. По какой-то неизвестной причине матросы на барже начали сбрасывать металлолом в воду и занимались этим до тех пор, пока полностью не опустошили трюмы баржи. Вопрос заключается в том, что произойдет с уровнем воды в шлюзе?

— Ничего, уровень воды в шлюзе не изменится, — сказал один из яхтсменов.

— Нет, уровень воды в шлюзе поднимется, — настаивал другой.

— Именно такие ответы я получал от физиков, — заметил первый яхтсмен. — Но в действительности ни тот, ни другой ответ не верен. Уровень воды в шлюзе понизится. Дело в том, что по закону Архимеда любое плавающее тело вытесняет объем воды, вес которого равен весу тела. Так как железо гораздо тяжелее воды, объем вытесняемой воды, когда железо находится на плаву, в трюме баржи, гораздо больше объема железа. Когда же железо оказывается в воде на дне шлюза, оно вытесняет лишь то количество воды, которое соответствует его объему. Следовательно, уровень воды в шлюзе, после того как железо выброшено за борт, должен понизиться.

— Мне не совсем ясно, — запротестовал один из слушателей.

— Давайте рассуждать иначе. Астрономы утверждают, что некоторые звезды, например белый карлик Сириус Б, состоят из вещества, которое в миллион раз плотнее воды. Кубический сантиметр такого вещества весил бы несколько тонн. Если столь тяжелый кубик поместить на баржу, то баржа осядет в воде очень глубоко и уровень воды в шлюзе поднимется. Если же кубический сантиметр звездного вещества покоится на дне, то он вытесняет всего лишь 1 кубический сантиметр воды, т. е. практически ничего, и уровень воды в шлюзе понижается. В случае с металлоломом получится то же самое, только различие в уровнях воды будет не столь заметно.

7. Аэронавтика

Против ветра

Как-то раз группа офицеров ВВС США сидела в столовой при аэродроме, попивала кофе и разглядывала последние выпуски юмористических журналов.

— Послушай-ка, Джек, — спросил один из летчиков, — ты, кажется, собирался сегодня слетать на базу N и вернуться к обеду?

— Я изменил свои планы, — ответил Джек. — База N находится к востоку отсюда, а сегодня дует сильный восточный ветер, который намного уменьшит мою скорость. Я предпочитаю слетать на базу завтра. Метеорологи предсказывают на завтра тихую погоду.

— Но если ты планировал вернуться сегодня же, то ветер никак не скажется на продолжительности полета, — удивился первый офицер. — Ветер вряд ли утихнет сегодня до заката и на обратном пути станет попутным. Сколько времени проиграешь по пути на базу, столько наверстаешь на обратном пути.

— Разве? — усомнился Джек.

— Конечно. Какие могут быть сомнения?

— Сразу видно, что летный стаж у тебя не особенно велик, — заметил Джек, — ив специальной теории относительности ты не силен.

— А при чем здесь специальная теория относительности?

— Так уж случилось, приятель, что именно она стала теоретической основой эксперимента Майкельсона, с помощью которого тот пытался обнаружить так называемый «эфирный ветер», вызываемый движением Земли в космическом пространстве…

Но прежде всего мне хотелось бы решить задачу, связанную с моим полетом на базу N. На тот случай, если ты не слишком силен в математике, я попытаюсь сначала объяснить суть решения на словах. Как тебе известно, из-за встречного ветра скорость самолета уменьшается, поэтому на путь туда времени затрачивается больше, а из-за попутного ветра скорость самолета увеличивается, поэтому на обратный путь времени уходит меньше. Это означает, что сопротивление воздуха, или уменьшение скорости, оказывают на тебя более длительное воздействие, а с повышенной скоростью ты летишь более короткое время. Следовательно, «потери» больше, чем «прибыль». Понятно?

Но если по математике у тебя было «отлично», то убедить тебя в правильности решения может лишь формула. Пусть V — скорость моего самолета (я хочу сказать, скорость в полете относительно земли), a v — скорость ветра. Если расстояние до базы N равно L, то полетное время при встречном ветре равно L/(V-v), а при попутном ветре L/(V+v). Следовательно, на полет туда и обратно я затрачу время